Soluciones para una ecuación matricial

Question

Tengo una ecuación $X^2 = \begin{bmatrix}9 & 1\\ 0 & 9 \end{bmatrix}$ . El libro de texto dice que la matriz de Jordan de $X$ puede ser $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ o $\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -3\end{bmatrix}$ . Por lo tanto, esta ecuación tiene 2 soluciones no similares.

Mi pregunta es por qué $\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$ no puede ser la matriz de Jordan de $X$ ?

Answer 1

Si $X$ tuvieran valores propios distintos (que deben ser $\pm 3$ en este caso), entonces existiría una matriz de vectores propios tal que $V^{-1} X V = \operatorname{diag}(3,-3)$ . Entonces $X^2 = V \operatorname{diag}(3,-3) V^{-1} V \operatorname{diag}(3,-3) V^{-1} = 9I$ . Por lo tanto $X$ no pueden tener vectores propios distintos.