¿Son las variedades de Banach intrínsecamente interesantes?

Question

En la introducción a 'A convenient setting for Global Analysis', Michor & Kriegl hacen esta afirmación: "El estudio de las variedades de Banach per se no es muy interesante, ya que resultan ser subconjuntos abiertos del espacio de modelización para muchos espacios de modelización."

Pero las variedades de dimensión finita resultan interesantes aunque puedan incrustarse en algún espacio euclidiano (de mayor dimensión). (En realidad, esto me parece, para hacer la afirmación anterior intuitivamente plausible, por lo que esa afirmación no debe ser más de lo que deberíamos esperar).

Pero sí dicen que "las variedades de Banach no son adecuadas para muchas cuestiones de análisis global, ya que... un grupo de Lie de Banach que actúe eficazmente sobre una variedad lisa de dimensión nula debe ser él mismo de dimensión nula", lo que parece una limitación bastante fuerte.

Answer 1

En su tesis notable Douady demostró que, dado un espacio analítico complejo compacto $X$ el conjunto $H(X)$ de subespacios analíticos de $X$ tiene en sí una estructura natural de espacio analítico .
Si $X=\mathbb P^n(\mathbb C)$ por ejemplo, entonces $H(X)$ es el esquema de Hilbert $ Hilb(\mathbb P^n(\mathbb C))$ .
Sin embargo, el problema es mucho más difícil para los no algebraicos $X$ .
Douady lo resolvió mediante el uso masivo de los colectores analíticos de Banach, el más importante de los cuales es el grassmanniano de subespacios cerrados complementados de un espacio de Banach.

La tesis comienza con la cándida declaración de su objetivo: "Le but de ce travail est de munir son auteur du grade de docteur-ès-sciences mathématiques et l'ensemble H(X) des sous espaces analytiques compacts de X d'une structure d'espace analytique", es decir, dotar a su autor del título de doctor en matemáticas y al conjunto H(X) de subespacios analíticos compactos de X de la estructura de espacio analítico.

Answer 2

Tengo dos opiniones sobre este tema. Es mucho más fácil trabajar en variedades de Banach porque el teorema de la función implícita en esos espacios tiene una formulación sencilla. Por otra parte, como demuestran los ejemplos de la teoría gauge o la teoría de curvas pseudoholomórficas, en estos contextos no se trabaja con una única variedad de Banach, sino con varias, determinadas por normas de Sobolev cada vez más estrictas. Una parte importante del juego consiste en concluir que los objetos con una regularidad de Sobolev a priori más débil son de hecho suaves. Esto se parece mucho a trabajar implícitamente en una variedad de Frechet.

Un inconveniente de los espacios de Banach es que no tienen muchas funciones suaves sobre ellos, y la noción de analiticidad real en tales espacios es problemática. Tomemos el ejemplo de las ecuaciones de Seiberg-Witten. Se trata de ecuaciones cuadráticas en sus variables, por lo que intuitivamente deberían ser analíticas reales, aunque no sé cómo formularlo rigurosamente en un contexto de Sobolev.

¿Por qué me importa la analiticidad real? En el contexto de la analiticidad real se puede formular una teoría de intersecciones que incluya objetos no necesariamente lisos. Por ejemplo, el punto $0\in\mathbb{R}$ es una solución de la ecuación cuadrática $x^2=0$ . Es un cero degenerado, y desde el punto de vista de la teoría de intersecciones tiene multiplicidad $0$ . Mi esperanza es que este punto de vista analítico real permita tratar con soluciones ligeramente degeneradas de las ecuaciones de Seiberg-Witten y asignar multiplicidades a dichas soluciones.