Fórmula del ángulo compuesto

Question

Comprendo cómo utilizar la fórmula del ángulo compuesto al resolver $\sin(\pi/12)$ . Sin embargo, no entiendo cómo puedo utilizar una fórmula de ángulo compuesto para mostrar $$\arctan(3)-\arctan(1/2)=\pi/4$$

Gracias Cualquier referencia sería muy apreciada, busqué en línea pero no pude encontrar ninguna que se dirigiera al arco-tan/sin/cos.

Answer 1

Pista:

Supongo que conoces la fórmula para $\tan(A\pm B)$ (de lo contrario, tu profesor es malvado :) ).

Enchufe $A=\tan^{-1}a$ , $B=\tan^{-1}b$ en esa fórmula y reordenarla para obtener una fórmula para $tan^{-1}a - tan^{-1}b = tan^{-1}$ (alguna expresión que implique $a$ y $b$ ).

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Comenzamos con lo conocido $\tan$ fórmula del ángulo compuesto:

$$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$$

Sustituyendo $A=\tan^{-1}a$ , $B=\tan^{-1}b$ : $a = \tan A$ , $b = \tan B$

$$\tan(\tan^{-1}a + \tan^{-1}b) = \frac{a + b}{1 - ab}$$

$$\tan^{-1}a + \tan^{-1}b = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right)$$

Ahora dejemos que $a = 3$ , $b = -\frac{1}{2}$

Nota $\tan(-x) \equiv -\tan x$ para todos $x$

$$\tan^{-1}3 - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3\cdot\frac{1}{2}}\right)$$

$$\tan^{-1}3 - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6 - 1}{2 + 3}\right) = \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}$$