Grupo de Galois de la extensión unramificada de $\mathbb{Q}_p$ es cíclico

Question

He visto que allí por cada $f$ existe una única extensión no ramificada a $\mathbb{Q}_p$ de grado $f$ y es $\mathbb{Q}_p(\delta)$ donde $\delta$ es una primitiva $(p^f-1)$ -raíz de la unidad. Observando el polinomio $$\begin{equation*} p(x)=x^{p^f-1}-1 \in \mathbb{Q}_p[X] \end{equation*}$$ vemos que es separable con las raíces $\{1,\delta,\ldots,\delta^{p^f-2}\}$ y campo de división siendo $\mathbb{Q}_p(\delta)$ así que $\mathbb{Q}_p(\delta)/\mathbb{Q}_p$ es una extensión de Galois de grado $f$ con base $\{1,\delta,\ldots,\delta^{f-2}\}$ . Un automorfismo $\sigma \in \mbox{Gal}(\mathbb{Q}_p(\delta)/\mathbb{Q}_p)$ viene determinada por el lugar al que envía $\delta$ y puesto que $p(\delta)=0$ vemos que $\sigma$ toma $\delta$ a un nuevo $(p^f-1)$ -raíz de la unidad. Esto significa que $\sigma(\delta) = \delta^i$ donde $i=1,2\ldots,p^f-2$ . Por lo tanto, se puede considerar el homomorfismo de grupo $$\begin{equation*} \phi:\mbox{Gal}(\mathbb{Q}_p(\delta)/\mathbb{Q}_p) \rightarrow (\mathbb{Z}/(p^f-1)\mathbb{Z})^\times \end{equation*}$$ definido por $\phi(\sigma) = i$ donde $\sigma(\delta)=\delta^i$ . Este homomorfismo es inyectivo por lo que $\mbox{Gal}(\mathbb{Q}_p(\delta)/\mathbb{Q}_p)$ es isomorfo a un subgrupo de $(\mathbb{Z}/(p^f-1)\mathbb{Z})^\times$ . Desgraciadamente, $(\mathbb{Z}/(p^f-1)\mathbb{Z})^\times$ no es cíclico, así que mi prueba no funciona. En la mayoría de los apuntes que he leído utilizan otros resultados para demostrarlo, pero me interesa un enfoque más directo, si es que existe.

Answer 1

Sea $\zeta$ sea una primitiva $(p^k-1)$ -enésima raíz de la unidad. Entonces, es cierto que $\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p$ es unramificado de grado $k$ . Dicho esto, las raíces del polinomio mínimo de $\zeta$ en $\mathbb{Q}_p$ son $\zeta,\zeta^p,\ldots,\zeta^{p^{k-1}}$ . Obsérvese entonces que para cualquier $\sigma\in\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p)$ tienes que $\sigma(\zeta)=\zeta^{p^d}$ para algunos $d\in \{0,\ldots,k-1\}$ . Denotamos este elemento de Galois por $\sigma_d$ . Como esta extensión es de Galois no es difícil ver que $d\mapsto \sigma_d$ es un isomorfismo $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}\to\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p)$ .