¿Nombre de esta operación similar al producto de Kronecker?

Question

Supongamos que $A,B$ son $n$ -por- $m$ matrices. Sea $X_i$ indica la columna i de la matriz $X$ , $\otimes$ indican el producto de Kronecker.

Estoy interesado en $n^2$ -por- $m$ matriz $C$ donde

$c_i = a_i \otimes b_i$

¿Existe un nombre para esta operación o una forma de expresarla en términos de operaciones matemáticas convencionales?

Answer 1

Suele denominarse producto Khatri-Rao. Pero cuidado, a veces las fuentes (incluidas partes de wikipedia) utilizan el mismo nombre para referirse a algo diferente.

A menudo surge al tratar con tensores que se han aplanado en matrices.

Para una referencia, véase la sección 2.6 del siguiente documento:

Kolda, Tamara G., y Brett W. Bader. "Tensor decompositions and applications". SIAM review 51.3 (2009): 455-500. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.454.202&rep=rep1&type=pdf

En el artículo enumeran algunas propiedades algebraicas del producto Khatri-Rao, que repito aquí como referencia.

Sea $\odot$ sea el producto Khatri-Rao definido en esta pregunta y $*$ sea el producto Hadamard (multiplicación por entradas). Es decir, escribiendo $\mathbf{a}_i$ y $\mathbf{b}_i$ como los vectores columna de $A$ y $B$ respectivamente, definimos $$\begin{align} A \odot B :=& \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 \otimes \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2 \otimes \mathbf{b}_2 & \dots & \mathbf{a}_n \otimes \mathbf{b}_n\end{bmatrix} , \\ (A * B)_{ij} :=& A_{ij} B_{ij}. \end{align}$$ Dejemos también que $M^\dagger$ denota el pseoduinverso de $M$ . Entonces se cumplen las siguientes identidades algebraicas: $$\begin{align} A \odot B \odot C &= (A \odot B) \odot C = A \odot (B \odot C)\\ (A \odot B)^T(A \odot B) &= A^T A * B^TB \\ (A \odot B)^\dagger &= ((A^T A)*(B^T B))^\dagger (A \odot B)^T \end{align}$$