Convergencia uniforme en un espacio métrico

Question

Considere $f_n(x)=x+ \dfrac{1}{n}$ donde $x \in (0,1)$ y la métrica

$$d(x,y)=\vert \dfrac{1}{x}- \frac{1}{y} \vert $$

¿Cómo puedo demostrar que $f_n$ no convergen uniformemente a $f : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x$ .

Mi intento fue:

Para cada $n \in \mathbb{N}$ : $sup_{x\in (0,1)} \{ d(f_n(x),f(x)) \} = sup_{x\in (0,1)} \lbrace \dfrac{1}{(nx+1)x} \rbrace = \infty $ . Pero no puedo probarlo.

Answer 1

El sup de un conjunto es al menos tan grande como cualquier miembro del conjunto. Así que $$ \sup_{x\in(0,1)} \left| \frac1{(nx+1)x}\right|\ge \left|\frac1{(n\frac1n+1)\frac1n}\right|=\frac n{2} $$ (Estamos comparando el sup sobre $x \in(0,1)$ con el miembro donde $x=\frac1n$ .) Dado que esto es cierto para cada $n$ concluye que el sup es $\infty$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{1}{n} \in (0,1),$

$$\sup_{x\in (0,1)} \left\{ \dfrac{1}{(nx+1)x} \right\} \geqslant \dfrac{1}{(n\cdot \frac{1}{n}+1)\frac{1}{n}} = \frac{n}{2} ,$$

y la RHS diverge como $n \to \infty$ .