¿Cómo demostrar que un número algebraico сubed es algebraico?

Question

Tengo dificultades con eso. Pero puedo demostrar que un número algebraico al cuadrado es algebraico.

Sea $a$ sea un número algebraico. Entonces hay un polinomio $P(x)$ de poder $n$ con coeficientes enteros (el coeficiente principal es $1$ ), y $P(a) = 0$ .

Factorización del $P$ que tenemos: $P(x) = \Pi (x - a_{i})$ .

Definir polinomio $Q$ : $Q(x) = \Pi (x + a_{i})$ .

$Q(x)$ tiene coeficientes enteros: $Q(x) = \Pi (-((-x) - a_{i})) = (-1)^{deg(P)} P(-x)$ .

$P(x) Q(x) = \Pi (x^2 - {a_i}^2)$ . Así que todos los poderes para $x$ en el polinomio $P (x) Q (x)$ están en paz: $P(x) Q(x) = R(x^2)$ . Y $R(x)$ tiene coeficientes enteros. Y $R(a^2) = 0$ . Así que $a^2$ es algebraico.

Answer 1

El mismo truco funciona:

Sea $Q(x) = \prod (x - a_{i}\omega)(x - a_{i}\omega^2)$ donde $\omega$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Entonces $P(x) Q(x) = \prod (x^3 - {a_i}^3)=R(x^3)$ donde $R(x)$ tiene coeficientes enteros. Entonces $R(a^3)=0$ .