Sea $X$ sea un esquema y $I \subseteq \mathcal{O}_X$ sea un ideal cuasi-coherente de tipo finito. La explosión $\mathrm{Bl}_I(X)$ tiene la siguiente propiedad universal: Viene con un morfismo $p : \mathrm{Bl}_I(X) \to X$ tal que $\langle p^*(I) \rangle \subseteq \mathcal{O}_{\mathrm{Bl}_I(X)}$ es invertible, y para cada morfismo $f : Y \to X$ tal que $\langle f^*(I) \rangle \subseteq \mathcal{O}_Y$ es invertible, existe un morfismo único $\tilde{f} : Y \to \mathrm{Bl}_I(X)$ tal que $f = p \tilde{f}$ . En otras palabras, $\mathrm{Bl}_I(X) \to X$ es un objeto final de la categoría $X$ -esquemas que retroceden $I$ a un ideal invertible.
Primero pensé que esto implica que $\mathrm{Bl}_I(X)$ es un objeto representativo del functor
$\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Set},~ Y \mapsto \{f \in \hom(Y,X) : \langle f^*(I) \rangle \subseteq \mathcal{O}_Y \text{ invertible}\},$
pero esto es incorrecto: ¡ni siquiera es un functor! Los ideales invertibles no retroceden a ideales invertibles. Si $H(Y)$ denota el conjunto anterior, entonces existe un mapa $\hom(Y,\tilde{X}) \to H(Y)$ que es inyectiva, pero dista mucho de ser suryectiva.
Pregunta. Qué functor $\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Set}$ ¿representa la voladura? En otras palabras, ¿cómo podemos simplificar $\hom(Y,\mathrm{Bl}_I(X))$ ?
Puesto que tenemos $\mathrm{Bl}_I(X) = \mathrm{Proj}_X \oplus_{n \geq 0} I^n$ se puede preguntar de forma más general qué functor $\mathrm{Proj}_X \mathcal{A}$ representa cuando $\mathcal{A}$ es una gradación suficientemente buena $\mathcal{O}_X$ -álgebra. Esto se indica en EGA II, 3.7, pero la condición de que el morfismo parcial $r_{\mathcal{L},\psi}$ se define en todas partes sólo se hace explícito para la afinidad $X$ en loc. cit. Cor. 3.7.4. Si $\mathcal{A}=\mathrm{Sym}(\mathcal{E})$ para algún haz vectorial $\mathcal{E}$ la condición es la siguiente $\psi$ (definida en loc. cit. 3.7.1) es suryectiva, de modo que la propiedad universal de $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ es muy similar a la del espacio proyectivo habitual. Pero $\oplus_{n \geq 0} I^n$ obviamente no tiene esta forma, a menos que $I$ es plana o algo así.
En cualquier caso, parece existir un mapa inyectivo desde
$$\{(f,\mathcal{L},\psi) : f \in \hom(Y,X) , \mathcal{L} \text{ line bundle on } Y, \psi : f^*(\mathcal{A}) \twoheadrightarrow \oplus_n \mathcal{L}^{\otimes n}\}$$
a $\hom(Y,\mathrm{Proj} \mathcal{A})$ . EDIT: En la respuesta de Jason Starr se afirma que se trata de una biyección. Puede alguien dar una referencia en la literatura para esta observación?
En la nota "Elementary Introduction To Representable Functors and Hilbert Schemes" de S. A. Stromme he encontrado el siguiente divertido ejercicio:
"Let $X \to S$ ser la voladura de $S$ en algún centro $Y \subseteq S$ . Trata de entender el functor puntual $h_{X/S}$ . Luego explica por qué es difícil entender las explosiones".
Espero que esto no signifique que no podemos entender el functor en absoluto ...
EDITAR. La propiedad universal de Proj de un álgebra gradada cuasi-coherente aparece en la sección 16 de "Constructions of schemes" en el Stacks Project ( aquí ). Es el habitual cuando el álgebra graduada se genera en grado 1. Todavía me pregunto si hay alguna referencia en la literatura porque quiero citar esto.
