Número de factores irreducibles de $x^{p^n + 1} - 1$ en $\Bbb F_p$

Question

Sea $p,n$ sean dos números primos Impares. Quiero demostrar que el número de factores irreducibles de $x^{p^n + 1} - 1$ en $\Bbb F_p$ es $$N = \frac{p^n-p}{2n} + \frac{p-1}{2} + 2$$

Sé que esto es igual a $\sum_{d\mid (p^n+1)}\frac{\phi(d)}{\operatorname{ord}_d(p)}$ (véase ¿Cuántos factores irreducibles tiene $x^n-1$ sobre campo finito? ). He comprobado la igualdad con SAGE para algunos pares $(p,n)$ . Pero, ¿cómo demostraría la igualdad anterior?

Gracias.

Answer 1

El número de factores irreducibles de $X^m-1$ para $p\nmid m$ es el número de ciclos del mapa de Frobenius $F:\alpha\to\alpha^p$ en su acción en $\mu_m$ el conjunto de $m$ -enésima raíz de la unidad en un cierre algebraico de $\Bbb F_p$ . Esto es lo mismo que el número de órbitas de $\phi:a\mapsto pa$ en $\Bbb Z/m\Bbb Z$ .

En nuestro caso $m=p^n+1$ . Entonces $\phi^n(a)=-a$ y así $\phi^{2n}(a)=a$ . Cada órbita de $\phi$ en $\Bbb Z/m\Bbb Z$ tiene una longitud que divide $2n$ . Para $k\mid 2n$ el número de soluciones de $\phi^k(a)=a$ es el número de soluciones de la congruencia $(p^k-1)a\equiv0\pmod{p^n+1}$ e igual a $a_k=\gcd(p^k-1,p^n+1)$ .

Ahora $a_1=\gcd(p-1,p^n+1)=\gcd(p-1,p+1)=2$ . También $a_2=\gcd(p^2-1,p^n+1)=\gcd(p^2-1,p+1)=p+1$ como $p^n\equiv p\pmod{p^2}$ . Finalmente $a_n=\gcd(p^n-1,p^n+1)=\gcd(p^n-1,2)=2$ .

Las órbitas de longitud $1$ constan de dos elementos, los de longitud $2$ comprende $(p+1)-2 = p-1$ elementos y no hay órbitas de longitud $n$ . Por lo tanto, las órbitas de longitud $2n$ comprende $$p^n+1-2-(p-1)=p^n-p$$ elementos y por lo tanto hay $2$ órbitas de longitud $1$ , $(p-1)/2$ de longitud $2$ y $$\frac{p^n-p}{2n}$$ de longitud $2n$ . El número de factores irreducibles es el número total de órbitas, a saber $$\frac{p^n-p}{2n}+\frac{p-1}2+2.$$