Triángulos congruentes y ángulos rectos

Question

Los laterales $AB$ y $AC$ de $\triangle ABC$ se construyen hacia el exterior de los cuadrados $ABDE$ y $ACFG$ . Sea $M$ sea el punto medio de $BC$ y que $N$ sea el punto de intersección de $AM$ y $EG$ . Demostrar que $EG = 2AM$ y $\angle ANE = 90^\circ$ .

He ampliado $AM$ a un punto $P$ tal que $AM = MP$ . Intento demostrar que $AP = EG$ por triángulos congruentes para demostrar $EG = 2AM$ pero tengo problemas para probar $\triangle ACP$ y $\triangle GAE$ congruente.

Answer 1

Sea $O$ sea el centro del cuadrado $ACFG$ . En el sentido de las agujas del reloj $90^{\circ}-$ rotación alrededor del punto $O$ . A continuación, señale $A$ se asigna a $G$ , punto $C$ se asigna a $A$ y $P$ se asigna a $E$ . Triángulos $ACP$ y $GAE$ son imágenes la una de la otra bajo esta rotación, por lo que son congruentes. También puedes demostrar su congruencia directamente. Pero la rotación te da inmediatamente que $EG = PA = 2AM$ (imagen en rotación) y $AM$ es ortogonal a $EG$ porque la línea $EG$ es el $90^{\circ}-$ imagen de rotación de $AM$ .

$ABPC$ es un paralelogramo porque sus diagonales $AP$ y $BC$ partirse por la mitad. Entonces $CP = AB = AE$ . También $CA = AG$ y $\angle \, PCA = 180^{\circ} - \angle \, BAC = \angle \, EAG$ . Por lo tanto $CPA$ es congruente con $EAG$ .