Cómo demostrar esta propiedad de la expectativa condicional $E(X f(Y) )=E(E(X|Y)f(Y))$

Question

Si suponemos que X, Y son variables aleatorias discretas y desarrollamos el lado izquierdo obtenemos que $\begin{align} E(E(X|Y)f(Y))&=\sum_y E(E(X|Y)f(Y))P(Y=y)\\ &=\sum_y \sum_x xP(X=x|Y=y)f(Y=y)P(Y=y)\\ &=\sum_y \sum_x x\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}f(Y=y)P(Y=y)\\ &=\sum_y \sum_x xP(X=x,Y=y)f(Y=y)\\ &=\sum_x x\sum_y P(X=x,Y=y)f(Y=y)\\ \end{align}$

No se como quitar la f(y). he intentado desarrollarlo a variables aleatorias continuas pero tengo el mismo problema.

Answer 1

Sea $X, Y$ variables aleatorias con distribución $f_X$ , $f_Y$ (y $f_{X|Y}$ distribución de $X|Y$ ), entonces $E[X]=E[E[X|Y]]$ .

Prueba

$\begin{align}E[E[X|Y]] &= \int E[X|Y]f_Y(y)dy \\ &=\int \left[\int xf_{X|Y}(x,y)dx \right]f_Y(y)dy\\ &=\int \int xf_{X|Y}(x,y)f_Y(y) dxdy\\ &=\int\int x f_{X,Y}(x,y)dydx \\ &=\int x\left[\int f_{X,Y}(x,y)dy \right]dx \\ &=\int xf_X(x)dx\\ &=E[X] \end{align}$

A partir de esto podemos escribir:

$E[Xf(Y)]=E[E[Xf(Y)|Y]]=E[f(Y)E[X|Y]]$ donde puede tomar $f(Y)$ porque está en el valor esperado condicionado a un valor de $Y$