¿Por qué el espacio clasificador de los números naturales es homotópicamente equivalente al círculo?

Question

¿Hay una manera directa de ver que $B{\mathbb{N}}\simeq S^1$ es decir, ¿el espacio clasificador del monoide de los números naturales es homotópicamente equivalente al círculo?

Aquí, como los números naturales ${\mathbb{N}}$ no es un grupo, es necesario cierto cuidado para definir el espacio clasificador $B{\mathbb{N}}$ correctamente. Una forma de hacerlo es considerar ${\mathbb{N}}$ como un monoide simplicial discreto, entonces set $B{\mathbb{N}}:=|N{\mathbb{N}}|$ ser la realización geométrica de su nervio.

Este hecho es un caso especial de (aunque sorprendentemente, equivalente a) un teorema mayor de James, a saber, que la construcción de James $J[X]$ en un conjunto simplicial puntiagudo $X$ es débilmente equivalente a $\Omega\Sigma |X|$ . Aquí $J[X]$ es el monoide simplicial libre sobre $X$ módulo del punto base $*$ . Toma $X=S^0$ da $|N{\mathbb{N}}|\cong |NJ[S^0]|\simeq B\Omega\Sigma S^\simeq |\Sigma S^0|\simeq S^1$ .

Answer 1

Método I: Productos simétricos.

Contenido en el conjunto simplicial $N\mathbb{N}$ es una copia del círculo simplicial $S^1$ generado por el símplex cero y el símplex 1 $[1]$ . Consiste en todos los símplices de la forma $e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ junto con el punto base $(0,\cdots,0)$ en el objeto simplicial.

Además, $N\mathbb{N}$ es, a nivel, un monoide conmutativo, y los mapas de caras y de degeneración son mapas de monoides conmutativos. De hecho, $N\mathbb{N}$ visiblemente es, en nivel $p$ el monoide libre conmutativo sobre $e_1, \ldots, e_p$ o el producto simétrico infinito del conjunto basado $(S^1)_p \subset (N\mathbb{N})_p$ . Como conjunto simplicial, entonces, $N\mathbb{N}$ es el producto simétrico infinito del conjunto simplicial basado $S^1$ .

La realización geométrica preserva los productos finitos y los cocientes por acciones de grupo (de ahí los productos simétricos), así como los colímites, por lo que la realización geométrica es homeomórfica al mapa $S^1 \to Sym^\infty S^1$ de espacios topológicos. En grupos de homotopía, por el teorema de Dold-Thom, es el mapa $\pi_* S^1 \to H_* S^1$ que se sabe que es un isomorfismo.

Método II: Cubrir espacios.

Consideremos el conjunto simplicial auxiliar $E$ que es el nervio del poset $\mathbb{Z}$ en $\leq$ . $E$ es contractible, por ejemplo porque las funciones $f(x) \equiv 0$ y $g(x) = max(x,0)$ satisfacer $f(x) \leq g(x) \geq id(x)$ ; estas desigualdades dan lugar a transformaciones naturales de categorías y, por tanto, a una homotopía de dos etapas desde la identidad a un mapa trivial.

El grupo $\mathbb{Z}$ actúa sobre $E$ libremente (y adecuadamente discontinua en la realización geométrica) por traslación. Afirmo que el cociente es isomorfo a $N\mathbb{N}$ . Los p-símbolos de $E$ son todos de la forma $$ z \leq (z + n_1) \leq \cdots \leq (z + n_1 + \cdots + n_p) $$ por lo que el cociente puede identificarse con la colección de tuplas $(n_1,\ldots,n_p)$ . La composición añade adyacentes $n_i$ e insertar una identidad inserta $0$ por lo que realmente es el conjunto simplicial $N\mathbb{N}$ .

Dado que la realización geométrica preserva los cocientes por acciones de grupo, esto hace que $B\mathbb{N}$ en un $K(\mathbb{Z},1)$ y, por tanto, homotópicamente equivalente a $S^1$ .

Answer 2

Método indirecto:

Los monoides son categorías con un solo objeto. Un simple cálculo muestra que la inclusión de categorías N en Z tiene fibra homotópica contráctil (que es el nervio de la categoría cuyos objetos son las flechas de la categoría de un objeto Z y cuyas flechas son triángulos conmutativos de Z mediada por los elementos de N ). Así pues, el teorema A de Quillen produce una equivalencia homotópica de los nervios correspondientes que surge de la inclusión de categorías subyacentes.

Método directo:

Consulte este artículo de Ken Brown: " Geometría de los sistemas de reescritura "

Sólo necesitas la versión más simple de su método. Con él se puede demostrar que el nervio de N y el nervio de Z tienen modelos celulares que sólo difieren por colapsos de símplos y, por tanto, tienen el mismo tipo de homotopía (simple).

Answer 3

Aplicando el functor "libre $\mathbb Z$ -módulo", el monoide abeliano se convierte en un anillo conmutativo $\mathbb Z[T]$ un anillo polinómico en una variable. La construcción de la barra, un conjunto simplicial, se convierte en un grupo abeliano simplicial: la construcción de la barra para el aumentado $\mathbb Z$ -álgebra. Se deduce que la homología del espacio clasificador es $Tor^{\mathbb Z[T]}(\mathbb Z,\mathbb Z)$ que es la homología del círculo. Eso, más el hecho de que el grupo fundamental es el que debe ser, más el hecho de que el espacio clasificador hereda su propia estructura monoide conmutativa, da el resultado.

Answer 4

No estoy seguro de si este es el tipo de prueba directa que está buscando, pero aquí va. Empezaré con un teorema más general: Sea $M$ sea un monoide CANCELABLE, y $K$ sea el adjunto izquierdo al functor olvido, $U:GROUP\rightarrow MONOID$ . Entonces $BM$ es homotópicamente equivalente a $BK(M)$ . La forma en que me gusta ver esto es pensar en los monoides y (por lo tanto los grupos) como categorías. En $B$ me refiero al nervio de la categoría que convierte la categoría en un conjunto simplicial. Me parece que este tipo de teoremas del nervio son mucho más fáciles de ver en el mundo de los conjuntos simpliciales. Para ver este teorema en particular, basta con intentar construir una fibración mínima (es decir, una sustitución fibrante). En el caso de un monoide, todos los cuernos interiores están llenos, y sólo debemos averiguar cómo llenar los cuernos exteriores. Pero estos sólo serán añadiendo en el inverso que aún no están en el monoide. Además, la condición de fibración mínima garantizará que los rellenos de los cuernos sean únicos. Esencialmente, lo que estás haciendo es realizar una versión geométrica del $K$ en la categoría de conjuntos simpliciales. Como ejercicio interesante, sería bueno tomar la fibración mínima asociada a $B\mathbb{N}$ y verás que obtienes el conjunto simplicial, $B\mathbb{Z}$ .

En cuanto a la construcción de James que mencionas (aunque no forma parte de tu pregunta, vale la pena mencionarla), existe una versión de conjunto simplicial llamada construcción FK de Milnor. Lo que haces es empezar con un conjunto simplicial reducido, $X$ (un conjunto simplicial con un vértice). A continuación definimos un grupo simplicial llamado $FK(X)$ el grupo n-ésimo es el grupo libre sobre los elementos de $X_n$ módulo de la imagen de la degeneración iterada, $s_0^n(pnt)$ donde $pnt$ es el vértice.