Un reciente pregunta de Juan Saloman me ha recordado algo que me ha dado la lata durante años, y que nunca he entendido ni oído explicar. (En el plano complejo, ¿puede una integral de la forma general $\int dz f(z)$ sobre el plano complejo se trate como una integral directa 1-D si no se especifica ninguna trayectoria en el plano complejo? He asistido a clases en las que los profesores parecían hacer precisamente eso. Pero, quiero decir, $z$ tiene dos partes independientes, ¿verdad? En otras palabras, es el complejo avión no el complejo línea . He visto este tipo de integrales antes y más o menos aprendí a tratar con ellos de una manera mono-ver-mono-hacer, pero nunca entendí realmente lo que estaba pasando a mi propia satisfacción. Gracias.
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En el plano complejo $\Bbb C$ ciertas funciones $z\mapsto f(z)$ se distinguen por ser holomorfas. Cualquier función de este tipo tiene un dominio $\Omega\subset\Bbb C$ que, por definición, es un conjunto abierto y conexo. Dado un $f$ y una curva $$\gamma:\ [a,b]\to\Omega, \quad t\mapsto z(t)\tag{1}$$ se puede considerar la integral $$\int_\gamma f(z)\ dz:=\int_a^b f\bigl(z(t)\bigr)\ z'(t)\ dt\ ,$$ cuyo valor depende de $f$ así como en $\gamma$ .
En $f$ resulta ser la derivada de alguna otra función analítica $F:\ \Omega\to\Bbb C$ como $\ \cos\ $ es la derivada de $\ \sin$ y si $(1)$ es una curva arbitraria en $\Omega$ conectando el punto $\gamma(a)=z_1\in\Omega$ con el punto $\gamma(b)=z_2\in\Omega$ entonces $$\int_\gamma f(z)\ dz= F(z_2)-F(z_1)\ .\tag{2}$$ Para demostrar $(2)$ consideremos la función auxiliar $$\phi(t):=F\bigl(z(t)\bigr)\qquad(a\leq t\leq b)$$ y reescribir la fórmula $\int_a^b \phi'(t)\ dt=\phi(b)-\phi(a)$ en términos de $f$ y $F$ .
En este sentido, la fórmula $\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)$ del cálculo ordinario puede considerarse como el caso especial en el que $\gamma$ es el segmento dirigido $[a,b]\subset\Bbb C$ .
