Estoy leyendo sobre teoremas de metrización y no consigo averiguar ¿Cuál es la diferencia entre un espacio topológico que tiene una $\sigma$ -base localmente finita a un espacio topológico paracompacto.
Un espacio topológico se llama paracompacto, si cada cubierta tiene un refinamiento abierto que es localmente finito.
Un espacio topológico tiene un $\sigma$ -tiene una base que es una unión contable de familias localmente finitas.
¿Alguna ayuda? Gracias.
Lo que sigue está citado o parafraseado de "Counterexamples in Topology" de Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. Me saltaré algunas de las pruebas posteriores.
"Un espacio topológico es metrizable si es regular (T4) y tiene un $\sigma$ -base localmente finita, es decir, una base que es la unión contable de familias localmente finitas. Aunque este requisito está muy cerca de la paracompacidad, y aunque todo espacio métrico es paracompacto, existen espacios regulares paracompactos que no son metrizables." (p.37)
Por lo tanto, necesitamos encontrar un espacio que sea regular pero no contable en segundo lugar, lo que significa que no contiene una base contable. Esto, a su vez, significa que el espacio sigue siendo paracompacto, pero no metrizable, y por lo tanto el espacio no es $\sigma$ -localmente finito.
La "Topología de intervalos semiabiertos a la derecha" en el conjunto X de todos los números reales se define por conjuntos abiertos de la forma $[a,b)$ con $a,b \in \Bbb R \subset X$ .
El espacio no es segundo contable: Definir $S:=\lbrace\left[x_i,y_i \right)| i \in \Bbb Z^+ \rbrace$ . Si se trata de una base contable, podemos encontrar un $a \in X$ con $a \neq x_i$ para cualquier $i \in \Bbb Z^+$ . Sin embargo, $[a,b)$ no puede estar formado por la unión de ningún elemento de $S$ . Por lo tanto, el espacio no es metrizable. (75-76)
El espacio es completamente normal, lo que implica que es normal, lo que implica que es regular. Como es Lindelöf, lo que significa que toda cubierta abierta tiene una subcubierta contable, concluimos que es paracompacto. (75-76)
En resumen, paracompacto pero no tiene un $\sigma$ -base localmente finita, ya que no se puede definir ninguna métrica que genere la topología deseada.
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