Resolución de una variable en un problema de divisibilidad de enteros

Question

Digamos que tengo un problema de la forma $$\frac a{bx+c}=z$$

Dónde $a,b,c$ son números enteros conocidos, $x$ es una variable desconocida , y $z$ es una salida entera.. ¿Existe algún método que pueda utilizar para determinar si hay algún número entero en la salida? $x$ Estaba pensando en algo parecido a la aritmética modular de la forma

$a = 0 \pmod{bx+c}$

Pero cualquier esfuerzo por determinar me lleva en círculos. ¿Estoy pensando en la línea correcta? ¿Es posible lo que intento hacer sin recurrir al método de ensayo y error?

Answer 1

Supongamos que $b\not=0$ .

$bx+c$ tiene que ser un divisor de $a$ . Por lo tanto, dejar que $d$ sea un divisor de $a$ tenemos $$bx+c=d\iff bx=d-c\iff x=\frac{d-c}{b}.$$

Por lo tanto, $x$ es un número entero si y sólo si $b$ es un divisor de $d-c$ .

En consecuencia, existe un número entero tal $x$ si y sólo si existe un divisor $d$ de $a$ tal que $$\text{$ b $ is a divisor of $ d-c $.}$$