¿Cómo es que todo integral en $n$ formularios en $\mathbb{R}^n$ no son $0$

Question

Por el lema de Poincare, para una variedad contractible , digamos $\mathbb{R}^n$ toda forma cerrada es exacta.

Además, todos los $n^{th}$ formularios en $\mathbb{R}^n$ están cerrados. ¿Cómo es que no todas las integrales estándar de Riemennian son distintas de cero?

Siempre podemos tomar la función de protuberancia positiva en la esfera, que tiene integral no nula.

Answer 1

No hay contradicción porque el teorema de Stokes sólo es válido para formas con soporte compacto: dada su $n$ -el lema de Poincaré no nos dice nada sobre el soporte de la forma $n-1$ forma.

Por ejemplo $n=1$ ; $\omega=f(x)dx$ ser nuestro $1-$ donde $f$ es la función de protuberancia positiva. Como predice el lema de Poincaré, al definir $h(x)=\int_0^xf(t)dt$ nos da $dh=\omega$ pero $h$ no tiene soporte compacto. Si nos limitamos a un submanifold compacto de $\mathbb{R}$ por ejemplo $[a,b]$ El teorema de Stokes se mantiene, y es simplemente el FTC.

Lo que has encontrado es exactamente la razón por la que, en la hipotesis para el thm de Stokes, pedimos que o bien nuestra variedad sea compacta o bien lo sea el soporte de la forma. Si te fijas bien en una demostración de ST, verás que esta hipotesis es crucial en la demostración.