¿Convergencia de la versión "general" de la función zeta de Riemann?

Question

Sea $\{u_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ sea una sucesión no decreciente de reales positivos que limita al infinito.

Definimos la suma zeta de Riemann "general" para $\{u_k\}_k$ por $ \zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} (u_k)^{-s} $ .

Denotamos por $S \subset \mathbb{C}$ el conjunto de $s \in \mathbb{C}$ para la que converge la suma anterior.

Mi pregunta es, en general, ¿qué $S$ ¿Qué aspecto tiene? Sabemos que $u_k = k$ que $S$ es un semiplano derecho $\{\mathrm{Re}s>1\}$ . En general podemos decir $S$ es un semiplano recto, a la derecha del eje imaginario?

Nota: un resultado como éste parece utilizarse justo después de la ecuación (1.20) en este documento de Dan Freed. Por supuesto, probablemente haya más limitaciones en $\lambda_k = u_k$ en la situación dada en el documento que he puesto aquí, pero me preguntaba cómo general el resultado utilizado es. Intenté echar un vistazo al artículo que se cita como [Se] después de la ecuación (1.20) en el artículo de Dan Freed, pero no pude entenderlo lo suficiente como para extraer la afirmación anterior.

Answer 1

Para $S$ sea un semiplano recto, basta con que $u_k=r_ke^{i\theta}$ para algún argumento fijo $\theta$ y tienen módulos $r_k \geq 1$ . Entonces para cualquier $s=x+yi$ tenemos

$$ \bigg \vert \sum_k u_k^{-s} \bigg \vert = \bigg \vert \sum_k r_k^{-s}e^{-i\theta s} \bigg \vert = \bigg \vert \sum_k r_k^{-x}e^{-yi} e^{-i\theta s} \bigg \vert = \bigg \vert e^{-yi} e^{-i\theta s} \sum_k r_k^{-x} \bigg \vert = \sum_k r_k^{-x}. $$

Esto demuestra que el módulo de $\sum_k u_k^{-s}$ es independiente de $\text{Im}s$ y disminuyendo en $x$ lo que significa que el conjunto donde el módulo es finito es un semiplano derecho.

Obsérvese que si eliminamos el requisito de que $r_k \geq 1$ podemos obtener fácilmente un semiplano izquierdo, por ejemplo mediante $u_k=k^{-1}$ . No se me ocurre ningún ejemplo de $u_k$ que no dan un semiplano izquierdo o derecho, por lo que las condiciones necesarias son probablemente más débiles que las mías.