¿Permite todo haz vectorial una cubierta de trivialización finita?

Question

Supongamos que existe un haz vectorial (liso, con fibras finito-dimensionales de rango constante) sobre una variedad (lisa, de segundo recuento, Hausdorff, no necesariamente conexa) $B$ de dimensión $n$ .

(a) ¿Es cierto que la pluralidad B puede estar cubierta por un número finito de conjuntos $U_1,\dots,U_N$ s.t. el haz vectorial, restringido a $U_i$ es isomorfo a uno trivial para cada $i=1,\dots,N$ ?

(b) En caso afirmativo, ¿puede $N$ considerarse $n+1$ ?

P.D. Algunas observaciones:

1. En el libro de Milnor y Stasheff se demuestra que todo haz permite una cubierta de trivialización contable localmente finita.
2. La parte (a) es obviamente trivial para las variedades compactas.
3. Parece que (b) es cierta si $B$ es un $n$ -CW-complejo. Prueba: Denote con $B_k$ unión de celdas de dimensión $0,\dots,k$ . Demostrar por inducción en $k$ que hay subconjuntos $U_0,\dots,U_k$ de $B$ que cubren $B_k$ siempre que la restricción del haz a cada uno de ellos sea trivializable. Empecemos por el caso $k=0$ : construye vecindades contractibles de cada celda 0, que no se intersecten entre sí. Tomar allí la unión. Ahora para demostrar la afirmación para el siguiente valor de $k$ basta con construir una vecindad contractible no intersecante de cada $X_\alpha=e_\alpha\setminus (U_0\cup \dots\cup U_{k-1})$ . Llame al barrio deseado con $V_\alpha$ . En primer lugar, tenga en cuenta que $X_\alpha$ está cerrado en $e_\alpha^k$ y no se cruza con su límite $\partial e_\alpha^k$ por lo que podemos encontrar su vecindad en $e_\alpha^k$ que no se cruza con $\partial e_\alpha^k$ . Este conjunto es nuestro candidato para $V_\alpha\cap B_k$ . Extendiéndolo a un conjunto abierto en $B_{k+1}$ puede hacerse célula por célula: interpretar $e^{k+1}_\beta$ como una bola unitaria con centro en el origen, podemos escribir cada uno de sus puntos como $r\theta$ donde $\theta\in S^k$ y $r\in [0,1]$ . Incluimos $r\theta$ en $V_\alpha\cap B_{k+1}$ si $\theta$ ya está ahí y $r>0.99$ . Repitiendo este procedimiento lo ampliamos a $B$ .

Edita: Conjuntos abiertos $U_1,\dots, U_N$ se suponen abiertos. No les pido que estén conectados.

Answer 1

Me sorprende que esto no se haya dicho antes.

Haz una triangulación de tu colector. Escoge bolas abiertas disjuntas alrededor de cada celda 0 de la triangulación y establece que la unión sea $U_0$ (una bola significa aquí algo difeomorfo a una bola abierta).

Para cada celda 1, elija una bola abierta tal que junto con las bolas elegidas antes alrededor de las esquinas, la celda 1 esté completamente cubierta, y elija esas bolas para que sean disjuntas. La unión de estas bolas es $U_1$ .

Siga por el mismo camino, hasta llegar al $n$ -células.

Ahora tienes $n+1$ establece $U_0, \dots, U_n$ cada una de ellas formada por uniones disjuntas de bolas abiertas y tales que $U_0 \cup \dots \cup U_j$ cubre todas las celdas de dimensión inferior o igual a $j$ . En particular, la unión de todos estos conjuntos cubre su colector.

Su haz vectorial debe ser trivial en cada uno de los conjuntos $U_j$ ya que cada una de ellas son uniones disjuntas de bolas abiertas.