¿Permite todo haz vectorial una cubierta de trivialización finita?

Question

Supongamos que existe un haz vectorial (liso, con fibras finito-dimensionales de rango constante) sobre una variedad (lisa, de segundo recuento, Hausdorff, no necesariamente conexa) $B$ de dimensión $n$ .

(a) ¿Es cierto que la pluralidad B puede estar cubierta por un número finito de conjuntos $U_1,\dots,U_N$ s.t. el haz vectorial, restringido a $U_i$ es isomorfo a uno trivial para cada $i=1,\dots,N$ ?

(b) En caso afirmativo, ¿puede $N$ considerarse $n+1$ ?

P.D. Algunas observaciones:

1. En el libro de Milnor y Stasheff se demuestra que todo haz permite una cubierta de trivialización contable localmente finita.
2. La parte (a) es obviamente trivial para las variedades compactas.
3. Parece que (b) es cierta si $B$ es un $n$ -CW-complejo. Prueba: Denote con $B_k$ unión de celdas de dimensión $0,\dots,k$ . Demostrar por inducción en $k$ que hay subconjuntos $U_0,\dots,U_k$ de $B$ que cubren $B_k$ siempre que la restricción del haz a cada uno de ellos sea trivializable. Empecemos por el caso $k=0$ : construye vecindades contractibles de cada celda 0, que no se intersecten entre sí. Tomar allí la unión. Ahora para demostrar la afirmación para el siguiente valor de $k$ basta con construir una vecindad contractible no intersecante de cada $X_\alpha=e_\alpha\setminus (U_0\cup \dots\cup U_{k-1})$ . Llame al barrio deseado con $V_\alpha$ . En primer lugar, tenga en cuenta que $X_\alpha$ está cerrado en $e_\alpha^k$ y no se cruza con su límite $\partial e_\alpha^k$ por lo que podemos encontrar su vecindad en $e_\alpha^k$ que no se cruza con $\partial e_\alpha^k$ . Este conjunto es nuestro candidato para $V_\alpha\cap B_k$ . Extendiéndolo a un conjunto abierto en $B_{k+1}$ puede hacerse célula por célula: interpretar $e^{k+1}_\beta$ como una bola unitaria con centro en el origen, podemos escribir cada uno de sus puntos como $r\theta$ donde $\theta\in S^k$ y $r\in [0,1]$ . Incluimos $r\theta$ en $V_\alpha\cap B_{k+1}$ si $\theta$ ya está ahí y $r>0.99$ . Repitiendo este procedimiento lo ampliamos a $B$ .

Edita: Conjuntos abiertos $U_1,\dots, U_N$ se suponen abiertos. No les pido que estén conectados.

Answer 1

La respuesta [a ambas preguntas (a) y (b)] es SÍ (suponiendo $B$ es un colector liso ). Se puede encontrar una prueba en el libro de Walschap " Estructuras métricas en geometría diferencial ", p. 77, Lemma 7.1.

Para mayor comodidad de la OP, he aquí un esquema de la prueba. Elija una cubierta abierta de $B$ tal que su haz vectorial es trivial sobre cada elemento. A partir de resultados generales en topología, esta (y de hecho cualquier) cubierta de un $n$ -colector dim $B$ admite un refinamiento $\{ V_\alpha\}_{\alpha\in A}$ tal que cualquier punto de $B$ pertenecen como máximo a $n+1$ $V_\alpha$ 's. Sea $\{\phi_\alpha\}$ sea una partición de la unidad subordinada a esta cubierta y denotemos por $A_i$ la colección de subconjuntos de $A$ con $i+1$ elementos. Dado $a=\{\alpha_0,\dots,\alpha_i\}\in A_i$ denotemos por $W_a$ el conjunto formado por los $b\in B$ tal que $\phi_\alpha(b)\lt\phi_{\alpha_0}(b),\dots,\phi_{\alpha_i}(b)$ para todos $\alpha\neq\alpha_0,\dots,\alpha_i$ . Entonces la colección de $n+1$ subconjuntos abiertos $U_i:=\cup_{a\in A_i} W_a$ cubre $B$ y es tal que su haz restringido a cada $U_i$ es trivial.

Answer 2

Esto debería ser un comentario a la respuesta de Andreas Blass, pero era demasiado largo.

La categoría Lusternik-Schnirelmann $\operatorname{cat}(X)$ de un espacio $X$ es el número más pequeño $k$ tal que $X$ tiene una cobertura por conjuntos abiertos $U_1,\ldots , U_k$ que son contraíble en $X$ . Esto significa que las inclusiones $U_i\hookrightarrow X$ son nulo-homotópicas. Obsérvese que la $U_i$ no tienen por qué ser contractibles, ni siquiera estar conectados (aunque cada $U_i$ debe estar contenido en un componente conectado $X_i$ ). Obsérvese también que $\operatorname{cat}(X)$ es mayor o igual que el número mínimo de conjuntos abiertos necesarios para trivializar cualquier haz vectorial en $X$ por el lema de fluencia de haces y el hecho de que cualquier haz sobre un punto es trivial.

Uno de los primeros teoremas sobre la categoría LS es que si $X$ es paracompacta, entonces $\operatorname{cat}(X)\le \operatorname{dim}(X)+1$ donde $\operatorname{dim}$ denota la dimensión de cobertura de Lebesgue (que para las variedades coincide con la dimensión habitual). Por tanto, Andreas Blass tiene razón.

Si desea que el mínimo número de conjuntos en una cubierta de trivialización para su paquete $E$ puede hacerlo mejor, utilizando la noción de categoría seccional de un haz de fibras (también denominado Género Schwarz ). La categoría seccional $\operatorname{secat}(p)$ de un haz de fibras $p\colon\thinspace E\to B$ es el número más pequeño $k$ tal que $B$ tiene una cobertura por conjuntos abiertos $U_1,\ldots , U_k$ en cada una de las cuales $p$ admite una sección local continua (es decir, un mapa continuo $s\colon\thinspace U_i\to E$ tal que $p\circ s =\operatorname{incl}\colon\thinspace U_i\hookrightarrow B$ ).

Entonces el número mínimo de conjuntos en una cubierta trivializante para el haz vectorial $E\to B$ es igual a la categoría seccional del haz de marcos $F(E)\to B$ .

Adenda: Se puede demostrar utilizando la teoría de la obstrucción que para un $r$ -colector conectado $B$ , $$\operatorname{cat}(B)< \frac{\dim(B)+1}{r+1}+1.$$

Así que si, por ejemplo, tu colector es simplemente conectado, puedes encontrar una cubierta trivializadora con aproximadamente la mitad de conjuntos.

Answer 3

De la referencia anterior (Walschap's "Metric Structures in Differential geometry") parece que, para construir el mapa clasificador a un Grassmanniano adecuado $G(\mathbb{R}^N,k)$ donde $k$ es el rango de su paquete $E$ se necesita la existencia de una cubierta trivializadora finita.

Personalmente, creo que esa perspectiva puede invertirse, es decir, construir primero un mapa clasificador y luego utilizarlo para demostrar la existencia de una cubierta trivializadora finita. De hecho, el mapa clasificador se puede construir simplemente utilizando el mapa de Gauss asociado a una incrustación de Whitney $E\subseteq\mathbb{R}^N$ . A saber, el colector de base $M$ está integrado en $E$ a través de la sección cero, y unido a cualquier punto $x$ de $M$ existe el espacio tangente vertical (es decir, el subespacio de $T_xE$ tangente a la fibra a través de $x$ ). Aplica entonces el mapa de Gauss a este espacio tangente vertical, y obtendrás un elemento de $G(\mathbb{R}^N,k)$ . Dado que cualquier haz sobre $G(\mathbb{R}^N,k)$ admite una cubierta trivializadora finita, también lo hará cualquier haz extraído de ella.

Answer 4

Creo que lo que estás buscando (o redescubriendo) es el concepto de categoría de Lusternik-Schnirelman de un espacio: el número mínimo de conjuntos abiertos contractibles necesarios para cubrir el espacio. Más concretamente, necesitas la categoría LS máxima de los componentes de tu espacio.

Answer 5

(a) y (b) también son ciertas para las variedades topológicas de dimensión $n$ , véanse las páginas 17-21 de

• MR0336650 Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray: Conexiones, curvatura y cohomología. Vol. I: De Rham cohomology of manifolds and vector bundles. Pure and Applied Mathematics, Vol. 47. Academic Press, Nueva York-Londres, 1972.