$\int_{0}^{10} \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} (x+y+z)$

Question

Estoy tratando de entender el $\int_{0}^{10} \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} (x+y+z) dx dydz$ Ha pasado un tiempo desde que tomé cálculo $3$ pero pensé que la respuesta debería ser $150$ pero no lo es.

La respuesta debe ser $15000$

¿Puede alguien explicarnos cómo llegamos a una cifra tan elevada?

Answer 1

Obsérvese que la integral (por simetría) es igual al triple de la integral $$\int_A x dxdydz$$

Dónde $A$ es $[0,10]^3$ . Pero se puede escribir la integral como la integral iterada $$\int_0^{10} dz\int_0^{10} dy \int_0^{10} xdx $$

Por tanto, la integral es igual a $$3\times 10\times 10\times 10^2/2$$ que es en realidad $15000$ .

Answer 2

$$\begin {align} \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} (x+y+z) dx dydz &= \int_{0}^{10} \int_{0}^{10} \left.\left( \frac{x^2}2+xy+xz\right)\right|_{x=0}^{x=10} dx dydz \\&=\int_{0}^{10} \int_{0}^{10}(50+10y+10z) dy dz \\&=\int_0^{10}\left.\left(50y+5y^2+10yz\right)\right|_{y=0}^{y=10} dz \\ &=\int_0^{10}(500+500+100z)dz \\ &=15000\end {align}$$