DVR, ampliación de la serie de potencia.

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo de valoración discreto con campo de cociente $K$ ideal maximalista $\mathfrak{m}$ , parámetro de uniformización $t$ . Sea $k = A/\mathfrak{m}$ Así que $k$ es un campo. ¿Cómo puedo demostrar que existe un homomorfismo $\varphi$ de anillos que mapea $A$ a $k[[x]]$ con $\varphi(t) = x$ ?

Answer 1

Si el parámetro uniformizador es un número primo múltiplo de la identidad multiplicativa, entonces no existe ningún homomorfismo de anillo $A\to k[[x]]$ . En particular, si dejamos que $A=\Bbb Z_p$ (el $p$ -adic enteros, que es completa) o $A=\Bbb Z_{(p)}=\{\frac{x}{y}\in\Bbb Q:p\nmid y\}$ (cuya finalización es $\Bbb Z_p$ ) entonces el parámetro de uniformización será $t=p$ y el campo de residuos es $\Bbb F_p$ que tiene una característica positiva. No habrá homomorfismos $\phi:A\to\Bbb F_p[[x]]$ enviando $p\mapsto x$ porque entonces $x=\phi(p)=p\phi(1)=0$ lo que contradice el hecho de que $x$ no es cero en $\Bbb F_p[[x]]$ .

Hay, por supuesto, una similitud superficial: cada elemento de $k[[x]]$ es una serie de potencias en $x$ cuyos coeficientes son de $k$ y, eligiendo un conjunto de representantes $T\subset A$ para los residuos en $k$ cada elemento de $A$ es únicamente una serie de potencias en $t$ cuyos coeficientes son de $T$ . Pero incluso la adición de elementos en estos anillos puede no ser compatible, como muestran nuestros contraejemplos anteriores.

Hay una manera de poner una estructura algebraica en el set (!) $k^{\Bbb N}$ lo que hace que $A$ utilizando una construcción conocida como Vectores Witt . Sin embargo, esto es muy complicado.