Dejemos que A sea un anillo de valoración discreto con campo de cociente K ideal maximalista m , parámetro de uniformización t . Sea k=A/m Así que k es un campo. ¿Cómo puedo demostrar que existe un homomorfismo φ de anillos que mapea A a k[[x]] con φ(t)=x ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Si el parámetro uniformizador es un número primo múltiplo de la identidad multiplicativa, entonces no existe ningún homomorfismo de anillo A→k[[x]] . En particular, si dejamos que A=Zp (el p -adic enteros, que es completa) o A=Z(p)={xy∈Q:p∤ (cuya finalización es \Bbb Z_p ) entonces el parámetro de uniformización será t=p y el campo de residuos es \Bbb F_p que tiene una característica positiva. No habrá homomorfismos \phi:A\to\Bbb F_p[[x]] enviando p\mapsto x porque entonces x=\phi(p)=p\phi(1)=0 lo que contradice el hecho de que x no es cero en \Bbb F_p[[x]] .
Hay, por supuesto, una similitud superficial: cada elemento de k[[x]] es una serie de potencias en x cuyos coeficientes son de k y, eligiendo un conjunto de representantes T\subset A para los residuos en k cada elemento de A es únicamente una serie de potencias en t cuyos coeficientes son de T . Pero incluso la adición de elementos en estos anillos puede no ser compatible, como muestran nuestros contraejemplos anteriores.
Hay una manera de poner una estructura algebraica en el set (!) k^{\Bbb N} lo que hace que A utilizando una construcción conocida como Vectores Witt . Sin embargo, esto es muy complicado.
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Creo que deberías mirar la terminación de A y definir el mapa necesario a partir de ahí.
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Considere A=Zp (el p -enteros y anádicos). Si p↦x extendida a un homomorfismo de anillo ϕ:Zp→Fp[[x]] entonces tendríamos x=ϕ(p)=pϕ(1)=0 una contradicción. ¿Me he perdido algo?
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@anon: Esto es una respuesta - no un comentario.