Demostraciones del teorema de Stallings-Swan

Question

Es un conocido y profundo ${}^\ast$ que si un grupo $G$ tiene dimensión cohomológica uno entonces debe ser libre. Esto fue demostrado a finales de los 60 por Stallings (para grupos finitamente generados) y Swan.

Las pruebas en los artículos originales están bien escritas y son informativas, ya que reúnen muchas ideas de topología, álgebra y teoría de conjuntos. Sin embargo, parece que hay margen para acortar las pruebas, por ejemplo mediante una elección inteligente de la resolución proyectiva o el uso de cohomología no abeliana.

Mis preguntas entonces son

¿Han aparecido pruebas alternativas (más cortas) del teorema de Stallings-Swan desde 1969?

${}^\ast$ Estoy dispuesto a aceptar que la respuesta puede ser "no", pero en ese caso me pregunto si alguien podría ofrecer una explicación de por qué este teorema es tan "profundo", es decir, por qué no puede existir alguna prueba de "truco rápido".

Answer 1

El meollo de la cuestión es el teorema de los "extremos de los grupos" de Stallings: Un grupo finitamente generado con infinitos extremos se divide como grafo de grupos con grupos de aristas finitas. Además, también hay que demostrar que el proceso de descomposición termina para su grupo (esta propiedad se denomina accesibilidad ). Ninguno de los dos tiene una prueba rápida y sencilla, y por una buena razón.

a. Dunwoody ha demostrado que la accesibilidad falla para algunos grupos finitamente generados con torsión, así que algo interesante (el teorema de Grushko) está ocurriendo incluso en la parte fácil de la prueba.

b. Los extremos de los grupos aborda el problema clave de la teoría geométrica de grupos: Relacionar las propiedades geométricas de un grupo y su estructura algebraica. Cada vez que se consigue recuperar la estructura algebraica de un grupo a partir de información geométrica sobre el grupo, tiene que ocurrir algún milagro menor (o mayor) y, que yo sepa (salvo excepciones triviales) no hay pruebas fáciles de los resultados de este tipo.

La prueba "más corta" del "teorema de los extremos de los grupos" se debe a Gromov, véanse las páginas 228-230 de su ensayo sobre los grupos hiperbólicos. El problema con la prueba de Gromov es que se basa en una propiedad de compacidad ("obvia" para Gromov) para una cierta familia de funciones armónicas (además, en su prueba faltaba una construcción del árbol, y esto requiere algún truco si se utilizan funciones armónicas para grupos finitamente generados). Este resultado de compacidad (que yo sepa) no tiene una demostración fácil. Escribí una prueba (algo larga) en http://arxiv.org/pdf/0707.4231.pdf Bruce Kleiner consiguió acortarlo a unas 7 páginas (no se ha publicado), pero su prueba sigue sin ser rápida.

La prueba de Dunwoody (véanse los excelentes comentarios de John Klein) mejora la prueba de Stallings, pero sigue siendo bastante complicada.

La prueba de Niblo en http://eprints.soton.ac.uk/29820/1/Stallingstheorem.pdf proporciona otro argumento geométrico utilizando el complejo de Sageev, pero el artículo de Niblo sigue teniendo 20 páginas.

Sólo para indicar lo no trivial que es el teorema de Stallings, consideremos la pregunta: ¿Es cierto que todo grupo finitamente generado $G$ de homológico ¿la dimensión 1 es gratuita? Esto es falso para grupos generados infinitamente (como $G={\mathbb Q}$ ) y es cierto para grupos finitamente representados (simplemente porque en este caso la dimensión cohomológica también es 1). Por lo demás, este problema está abierto desde el teorema de Stallings (¡y no por falta de ganas!).

Answer 2

Esto es realmente un comentario más que una respuesta, pero ¿quizás la respuesta a su pregunta se derive de hacer una búsqueda en mathscinet? Yo hice una y encontré la siguiente referencia:

Dunwoody, M. J. Accesibilidad y grupos de dimensión cohomológica uno. Proc. London Math. Soc. (3) 38 (1979), nº 2, 193-215.

En este importante y apasionante trabajo el autor obtiene la estructura de grupos de dimensión cohomológica uno sobre un anillo arbitrario (conmutativo) con unidad. Teorema 1.1: cdRG≤1 si y sólo si G es isomorfo al grupo fundamental de un grafo de grupos en el que cada grupo de vértices es finito sin torsión en R. (Un grupo finito no tiene torsión en R si su orden es invertible en R). Esto amplía los resultados de J. R. Stallings [Ann. of Math. (2) 88 (1968), 312--334; MR0228573 (37 #4153)] y R. G. Swan [J. Algebra 12 (1969), 585--610; MR0240177 (39 #1531)] de que si cdRG≤1 y G es libre de torsión entonces G es libre, y también los resultados de varios autores sobre grupos libres-por-finitos.

Los métodos son una ingeniosa combinación de la teoría de Bass-Serre con una versión relativa de la teoría de grupos accesibles debida a C. Bamford y al autor [J. Pure Appl. Algebra 7 (1976), nº 3, 333--346; MR0399271 (53 #3122)], y la aproximación del revisor a la teoría de Stallings-Swan mediante subconjuntos casi invariantes [Groups of cohomological dimension one, Lecture Notes in Math., Vol. 245, Springer, Berlín, 1972; MR0344359 (49 #9098)].

En el curso del artículo, el autor da lo que probablemente sea la mejor prueba posible del teorema de estructura de Stallings para grupos con más de un extremo [Stallings, op. cit.]. Desde hace tiempo se sabe que este teorema puede expresarse diciendo que el grupo actúa sobre un árbol con propiedades adecuadas. El revisor pasó mucho tiempo tratando de encontrar el árbol pertinente; el conjunto de aristas del árbol era bastante obvio, pero no tuvo éxito en encontrar el conjunto de vértices. La solución del autor es brillantemente sencilla. No es necesario determinar el conjunto de vértices. Su teorema del árbol (teorema 2.1) da las condiciones necesarias y suficientes para que un conjunto sea el conjunto de aristas de un árbol. Estas condiciones, para un conjunto con más de un extremo, son poco más que resultados previamente conocidos sobre conjuntos casi invariantes.

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Lo siguiente también podría tener algo que ver con su pregunta:

Cohen, Daniel E. Grupos de dimensión cohomológica uno. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 245. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1972. v+99 pp

El objetivo de estas notas bien escritas es dar cuenta de los siguientes teoremas de forma completamente autocontenida. Teorema A: Un grupo libre de torsión de dimensión cohomológica uno sobre algún anillo con unidad es libre. Teorema B: Un grupo libre de torsión que contiene un subgrupo libre de índice finito es libre. Teorema C: Sea H un subgrupo de índice finito en un grupo libre de torsión G; entonces G y H tienen la misma dimensión cohomológica. Teorema D: Sea H un subgrupo de un grupo libre G; entonces H es un factor libre de G si y sólo si IHG es un sumando directo en IG, el ideal de aumento de G. Los teoremas A y B fueron demostrados por J. R. Stallings [Ann. of Math. (2) 88 (1968), 312--334; MR0228573 (37 #4153)] para grupos finitamente generados y por R. G. Swan [J. Algebra 12 (1969), 585--610; MR0240177 (39 #1531)] en el caso general. El teorema C se atribuye a Serre; el teorema D es una versión reforzada de un resultado de Swan [op. cit. La presentación del material difiere en muchos detalles significativos de los trabajos de Stallings y Swan; entre ellos los siguientes: (i) la teoría de los extremos, que desempeña un papel importante en la demostración del Teorema A, se da en la forma algebraica debida al autor [Math. Z. 114 (1970), 9--18; MR0260877 (41 #5497)]; (ii) el teorema de la estructura de Stallings para grupos con infinitos extremos [Applications of categorical algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968), pp. 124--128, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970; MR0255689 (41 #349)] se da una prueba que combina métodos debidos a M. J. Dunwoody [J. Algebra 12 (1969), 339--344; MR0238931 (39 #291)] y P. C. Oxley [Math. Z. 127 (1972), 265--272; MR0332997 (48 #11322)]; iii) algunos de los argumentos homológicos de Swan se sustituyen por discusiones más explícitas del ideal de aumento del grupo G. En un apéndice se incluyen pruebas de los teoremas de Kuroš y Gruško.