División con resto en $K[X]$ donde $K$ es un campo arbitrario.

Question

Tengo algunos problemas con el uso de División con resto en un anillo poylnomial arbitrario $K[X]$ donde $K$ es algún campo.

Por ejemplo, consideremos el polinomio $f=X^{3}-X-1\in k[X]$ y consideremos el polinomio $g=3X^{2}-1\in K[X]$ . Quiero aplicar la División con resto a estos dos polinomios. Por este Teorema tenemos único $q,r\in K[X]$ tal que $f=qg+r$ y $\deg(r)<\deg(g)$ o $r=0$ .

La forma intuitiva sería decir que

$X^{3}-X-1=\frac{1}{3}X(3X^2-1)-\frac{2}{3}X-1$ ,

y así $q=\frac{1}{3}X$ y $r=-\frac{2}{3}X-1$ . Pero, ¿tenemos $q,r\in K[X]$ ? ¿Qué significa el $\frac{1}{3}$ ¿Quieres decir aquí? Sé que para números enteros $n$ que tenemos en los campos generales $K$ que $n$ se define simplemente como la suma de $1$ $n$ -veces. Entonces, ¿podríamos dar sentido a $\frac{1}{3}$ como la inversa de $(1+1+1)$ ? De antemano, gracias por su ayuda.

Answer 1

Sí, ya que $K$ es un campo, $3$ tiene una inversa, que se puede escribir como $\frac{1}{3}$ . Si $K$ es de carácter $0$ entonces $K$ contiene una copia de $\mathbb Q$ y esto es sólo el número racional $\frac{1}{3}$ . Si $K$ tiene característica positiva, entonces contiene una copia de ${\mathbb F}_p$ para algún primo $p$ y la inversa de $3$ está en este campo; entonces es más habitual escribir $3^{-1}$ en lugar de $\frac13$ . (Y, para completar, si $p = 3$ entonces $3 = 0$ y no tiene inversa, pero entonces también tu polinomio $g$ es en realidad $-1$ ).