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Teorema de Noether, simetría gauge y conservación de la carga

Intento comprender el teorema de Noether y su aplicación a la simetría gauge. A continuación lo que he hecho hasta ahora.

En primer lugar, la simetría gauge global. Empiezo con el Lagragiano $$L_{1}=\partial^{\mu}\Psi\partial_{\mu}\Psi^{\ast}-m^{2}\left|\Psi\right|^{2}$$ con campos complejos clásicos. Este Lagragiano es invariante con respecto a la simetría gauge global $\Psi\rightarrow\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}\theta}\Psi$ ... de tal manera que termino con $$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\mathbf{i}\left(\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}-\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi\right)\partial_{\mu}\delta\theta\right]=\int dv\left[\partial_{\mu}j^{\mu}\right]\delta\theta$$ siempre que las ecuaciones de movimiento ( $\delta L / \delta \Psi = 0$ ...) son válidos. Todo el tiempo estoy usando que $$\dfrac{\delta L}{\delta\phi}=\dfrac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_{\mu}\dfrac{\partial L}{\partial\left[\partial_{\mu}\phi\right]}$$ y que $\int dv=\int d^{3}xdt$ para abreviar. La corriente conservada es, por supuesto $$j_{1}^{\mu}=\mathbf{i}\left(\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi-\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}\right)$$ desde $\delta S / \delta \theta =0 \Rightarrow\partial_{\mu}j_{1}^{\mu}=0$ .

Esta es mi primera pregunta: ¿Es ésta realmente la demostración de la conservación de la carga? Hasta ahora, me parece que sólo he demostrado que el número de partícula se conserva, no hay carga por el momento...

A continuación, paso a la simetría gauge local. Empiezo con el siguiente Lagrangiano $$L_{2}=\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi\left(\partial_{\mu}-\mathbf{i}qA_{\mu}\right)\Psi^{\ast} -m^{2}\left|\Psi\right|^{2} -\dfrac{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}{4}$$ con $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$ . Este Lagrangiano es invariante con respecto a la transformación gauge local $$L_{2}\left[\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi\left(x\right),\tilde{\Psi}^{\ast}=e^{-\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi^{\ast},\tilde{A}_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\varphi\right]=L_{2}\left[\Psi,\Psi^{\ast},A_{\mu}\right]$$

Entonces tengo $$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta A_{\mu}}\delta A_{\mu}\right]$$ con $\delta\Psi=\mathbf{i}q\Psi\delta\varphi$ , $\delta A_{\mu}=-\partial_{\mu}\delta\varphi$ ... de tal manera que termino con $$\dfrac{\delta S}{\delta\varphi}=\int dv\left[\mathbf{i}q\Psi\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}+c.c.+\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]\right]$$ con $j_{2}^{\mu}=\partial L_{2}/\partial A_{\mu}$ y $F^{\nu\mu}=\partial L_{2}/\partial\left[\partial_{\nu}A_{\mu}\right]$

Entonces, por aplicación de las ecuaciones de movimiento, tengo $$\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]=0\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$$ desde $\partial_{\mu}\partial_{\nu}F^{\nu\mu}=0$ por construcción. Por supuesto, la nueva corriente es $$j_{2}^{\mu}=\mathbf{i}q\left(\Psi^{\ast}\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi-\Psi\left(\partial^{\mu}-\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi^{\ast}\right)$$ y depende explícitamente de la carga. Así que me parece que este es un mejor candidato para la conservación de la carga.

NB: Como se señala en http://arxiv.org/abs/hep-th/0009058 , Ec.(27) también se pueden suponer válidas las ecuaciones de Maxwell ( $j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu} = 0$ (ya que, al fin y al cabo, también forman parte de la ecuación del movimiento, llegaré más tarde a este punto, que me suena raro), y terminamos con la misma corriente, una vez más conservada.

No obstante, sigo teniendo algunos problemas. En efecto, si calculo bruscamente las ecuaciones de movimiento a partir de la lagrangiana, acabo teniendo (para el $A_{\mu}$ ecuación de movimiento) $$j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$$ por definición del $F^{\mu \nu}$ tensor.

Por lo tanto, mi otras cuestiones : ¿Existe una forma mejor de mostrar la conservación de la carga EM? ¿Hay algún error en lo que he hecho hasta ahora? ¿Por qué el teorema de Noether no parece darme algo que no está en las ecuaciones de movimiento? dicho de otra manera: ¿Por qué debería usar la maquinaria de Noether para algo que está intrínsecamente implementado en el Lagrangiano, y por tanto en las ecuaciones de movimiento para los campos independientes? (¿Es porque mi Lagrangiano es demasiado simple? ¿ Es debido a los múltiples términos de frontera que cancelo ?)

Gracias de antemano.

PD: Tengo la sensación de que parte de la respuesta estaría en la diferencia entre lo que los físicos de altas energías llaman estructura "on-shell" y "off-shell". Hasta ahora, nunca he entendido la diferencia. Esta debería ser mi última pregunta de hoy :-)

14voto

Stefano Puntos 763

Comentarios a la pregunta (v1):

  1. Lo último primero. En el caparazón significa (en este contexto) que se satisfacen las ecuaciones de movimiento (eom). Ecuaciones de movimiento significa Ecuaciones de Euler-Lagrange . Fuera del caparazón significa estrictamente no en el caparazón, pero en la práctica siempre se utiliza en el sentido no necesariamente en el caparazón. [Subrayemos que toda transformación infinitesimal es una simetría on-shell de una acción, por lo que un simetría on-shell es una noción vacua. Por tanto, en física, cuando afirmamos que una acción tiene un simetría, siempre se entiende implícitamente que la simetría es una simetría off-shell. ]

  2. OP escribió: Esta es mi primera pregunta: ¿Es esta realmente la demostración de la conservación de la carga (eléctrica)? Para esa acción en particular: Sí. Más en general para QED: No, porque el $4$ -calibre-potencial $A_{\mu}$ el término de Maxwell $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ y el acoplamiento mínimo faltan en la acción de OP. En principio, no basta con fijarse únicamente en el sector de la materia. Por otra parte, la simetría gauge global para la acción completa $S[A,\Psi]$ conduce a la conservación de la carga eléctrica, cf. Primer teorema de Noether . [Dos comentarios para dejar claro que es necesario considerar también el sector gauge: (i) Si estuviéramos haciendo QED escalar (en lugar de QED ordinaria), se sabe que la corriente Noether $j^{\mu}$ en realidad depende del $4$ -calibre-potencial $A_{\mu}$ por lo que el sector gauge es importante, cf. este post de Phys.SE. (ii) Otra cuestión es que si seguimos el método de OP y se supone que tratamos el $4$ -potencial de calibre $A_{\mu}$ como fondo clásico (que OP pone a cero), entonces presumiblemente también deberíamos asumir las ecuaciones de Maxwell $d_{\mu}F^{\mu\nu}=-j^{\nu}$ . Las ecuaciones de Maxwell implican por sí mismas la ecuación de continuidad $d_{\mu}J^{\mu}=0$ incluso antes de aplicar los Teoremas de Noether].

  3. No existe ninguna cantidad conservada asociada a la simetría gauge local per se, cf. Segundo teorema de Noether . (Su identidad de Noether fuera de la envoltura es una trivialidad. Véase también este Pregunta Phys.SE).

  4. Tal vez una comparación útil. Es posible considerar un modelo EM de la forma $$S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$$ donde $J^{\mu}$ se tratan como fuentes pasivas no dinámicas de materia de fondo clásica. En otras palabras, sólo los campos gauge $A_{\mu}$ son variables dinámicas en este modelo. Antes de empezar, tenemos que asegurar la simetría gauge local (off-shell) de la acción $S[A]$ hasta los términos límite. Esto implica que las fuentes de fondo clásicas $J^{\mu}$ debe satisfacer la ecuación de continuidad $d_{\mu}J^{\mu}=0$ fuera del caparazón. De este modo se nos impone una ley de conservación incluso antes de aplicar los Teoremas de Noether. Nótese que la simetría gauge global es un enunciado vacío en este modelo.

8voto

Mads Kristiansen Puntos 580

¿Es ésta realmente la demostración de la conservación de la carga?

Sí. La tasa se define como $Q = \int d^3x~j^0$ Así que $\partial_\mu j^\mu = 0$ muestra que se conserva.

Hasta ahora, me parece que sólo he demostrado que el flujo de probabilidad se conserva, no hay carga por el momento...

Lo que ha demostrado es que el actual se conserva. No creo que debas llamar a esto "flujo de probabilidad"; parece que estás confundiendo $\Psi$ con una función de onda, cuando en realidad es un campo cuántico.

5voto

Nick Puntos 583

La OP me pidió que respondiera a esta pregunta. Bueno, todas las preguntas parecen ser acerca de la "necesidad" del teorema de Noether.

Así que la respuesta es que el procedimiento de Noether es la forma de derivar la corriente a partir de una simetría conocida. Esto es muy útil porque normalmente sabemos muy bien cómo actúa una simetría - porque sabemos cómo se transforman los campos bajo ella o cómo giran o se desplazan las cosas bajo las operaciones espaciotemporales, etc. Por otro lado, la forma precisa de la corriente conservada resulta mucho menos obvia, especialmente cuando empezamos a añadir diversas interacciones. Hay "más o menos" una sola solución de lo que puede ser la corriente a conservar y el procedimiento de Noether es una manera de obtener esta forma correcta. Bueno, sí, la forma de la corriente está "contenida" en el Lagrangiano o en las ecuaciones de movimiento pero no es obvio cómo "extraerla" - y por eso apreciamos el procedimiento de Noether. Si tienes un algoritmo diferente de cómo extraerla, dínoslo, pero sé que no puede haber ningún procedimiento diferente que no sea en absoluto equivalente al de Noether.

Volvamos al primer ejemplo de la pregunta.

Para los campos que no interactúan, el número de partículas -sus cuantos- se conserva completamente. De hecho, todo campo libre de especie $s$ en cada estado dado por un momento $k$ y polarización $\lambda$ etc. se conserva, $N_{s,\lambda,\dots}(k,\dots)={\rm const}$ . Pero esto es claramente sólo una situación especial cuando las interacciones no existen y este caso no es físicamente interesante.

Las teorías interesantes sólo empiezan cuando tienen algunas interacciones. Destruyen casi todas estas "leyes de conservación". En particular, no es cierto que el número de partículas se conserve en la teoría cuántica de campos. Podemos crear pares electrón-positrón a partir de energía pura, etc. Sólo se conservan algunas cantidades como las cargas, la energía/momento, el momento angular, que están en correspondencia uno a uno con las simetrías, y las corrientes correspondientes (que incluyen el tensor tensión-energía) pueden deducirse mediante el procedimiento de Noether.

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