Intento comprender el teorema de Noether y su aplicación a la simetría gauge. A continuación lo que he hecho hasta ahora.
En primer lugar, la simetría gauge global. Empiezo con el Lagragiano $$L_{1}=\partial^{\mu}\Psi\partial_{\mu}\Psi^{\ast}-m^{2}\left|\Psi\right|^{2}$$ con campos complejos clásicos. Este Lagragiano es invariante con respecto a la simetría gauge global $\Psi\rightarrow\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}\theta}\Psi$ ... de tal manera que termino con $$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\mathbf{i}\left(\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}-\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi\right)\partial_{\mu}\delta\theta\right]=\int dv\left[\partial_{\mu}j^{\mu}\right]\delta\theta$$ siempre que las ecuaciones de movimiento ( $\delta L / \delta \Psi = 0$ ...) son válidos. Todo el tiempo estoy usando que $$\dfrac{\delta L}{\delta\phi}=\dfrac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_{\mu}\dfrac{\partial L}{\partial\left[\partial_{\mu}\phi\right]}$$ y que $\int dv=\int d^{3}xdt$ para abreviar. La corriente conservada es, por supuesto $$j_{1}^{\mu}=\mathbf{i}\left(\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi-\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}\right)$$ desde $\delta S / \delta \theta =0 \Rightarrow\partial_{\mu}j_{1}^{\mu}=0$ .
Esta es mi primera pregunta: ¿Es ésta realmente la demostración de la conservación de la carga? Hasta ahora, me parece que sólo he demostrado que el número de partícula se conserva, no hay carga por el momento...
A continuación, paso a la simetría gauge local. Empiezo con el siguiente Lagrangiano $$L_{2}=\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi\left(\partial_{\mu}-\mathbf{i}qA_{\mu}\right)\Psi^{\ast} -m^{2}\left|\Psi\right|^{2} -\dfrac{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}{4}$$ con $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$ . Este Lagrangiano es invariante con respecto a la transformación gauge local $$L_{2}\left[\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi\left(x\right),\tilde{\Psi}^{\ast}=e^{-\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi^{\ast},\tilde{A}_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\varphi\right]=L_{2}\left[\Psi,\Psi^{\ast},A_{\mu}\right]$$
Entonces tengo $$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta A_{\mu}}\delta A_{\mu}\right]$$ con $\delta\Psi=\mathbf{i}q\Psi\delta\varphi$ , $\delta A_{\mu}=-\partial_{\mu}\delta\varphi$ ... de tal manera que termino con $$\dfrac{\delta S}{\delta\varphi}=\int dv\left[\mathbf{i}q\Psi\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}+c.c.+\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]\right]$$ con $j_{2}^{\mu}=\partial L_{2}/\partial A_{\mu}$ y $F^{\nu\mu}=\partial L_{2}/\partial\left[\partial_{\nu}A_{\mu}\right]$
Entonces, por aplicación de las ecuaciones de movimiento, tengo $$\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]=0\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$$ desde $\partial_{\mu}\partial_{\nu}F^{\nu\mu}=0$ por construcción. Por supuesto, la nueva corriente es $$j_{2}^{\mu}=\mathbf{i}q\left(\Psi^{\ast}\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi-\Psi\left(\partial^{\mu}-\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi^{\ast}\right)$$ y depende explícitamente de la carga. Así que me parece que este es un mejor candidato para la conservación de la carga.
NB: Como se señala en http://arxiv.org/abs/hep-th/0009058 , Ec.(27) también se pueden suponer válidas las ecuaciones de Maxwell ( $j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu} = 0$ (ya que, al fin y al cabo, también forman parte de la ecuación del movimiento, llegaré más tarde a este punto, que me suena raro), y terminamos con la misma corriente, una vez más conservada.
No obstante, sigo teniendo algunos problemas. En efecto, si calculo bruscamente las ecuaciones de movimiento a partir de la lagrangiana, acabo teniendo (para el $A_{\mu}$ ecuación de movimiento) $$j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$$ por definición del $F^{\mu \nu}$ tensor.
Por lo tanto, mi otras cuestiones : ¿Existe una forma mejor de mostrar la conservación de la carga EM? ¿Hay algún error en lo que he hecho hasta ahora? ¿Por qué el teorema de Noether no parece darme algo que no está en las ecuaciones de movimiento? dicho de otra manera: ¿Por qué debería usar la maquinaria de Noether para algo que está intrínsecamente implementado en el Lagrangiano, y por tanto en las ecuaciones de movimiento para los campos independientes? (¿Es porque mi Lagrangiano es demasiado simple? ¿ Es debido a los múltiples términos de frontera que cancelo ?)
Gracias de antemano.
PD: Tengo la sensación de que parte de la respuesta estaría en la diferencia entre lo que los físicos de altas energías llaman estructura "on-shell" y "off-shell". Hasta ahora, nunca he entendido la diferencia. Esta debería ser mi última pregunta de hoy :-)