Serie de $L^2$ converge puntualmente en casi todas partes

Question

Sea $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de funciones $f_n : \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ en $L^2(\mathbb{R}^d)$ tal que, para todo $N \in \mathbb{N}$

$$\sum_{n = 1}^N \| f_n \|_{L^2}^2 \le C,$$

donde $C$ es una constante positiva independiente de $N$ . Además, supongamos que existe alguna función $F \in L^2(\mathbb{R}^d)$ tal que

$$\| F - \sum_{n=1}^N f_n \|_{L^2}^2 \to 0$$

Me gustaría saber si es cierto que $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge puntualmente en casi todas partes a la función $F$ .

Si se trata de funciones en $L^1(\mathbb{R}^d)$ en lugar de $L^2(\mathbb{R}^d)$ entonces la respuesta a esta pregunta sería sí, y visto en esta pregunta aquí . Sin embargo, en el $L^2$ caso parece que nos falta un paso. Por supuesto, podemos empezar aplicando la covergencia monótona:

$$\int_{\mathbb{R}^n} \sum_{n=1}^\infty |f_n|^2 dx = \sum_{n =1}^\infty \int_{\mathbb{R}^n} |f_n|^2 dx \le C.$$

Por lo tanto $\sum_{n =1}^\infty |f_n|^2$ converge a un número finito en casi todas partes. Pero esto no implica que $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converge en casi todas partes (y tendríamos esta implicación en la $L^1$ caso).

¿Se rompe la prueba a partir de aquí, o hay alguna forma de sortear esta dificultad? Agradeceré cualquier sugerencia o solución.

Answer 1

Fijar un positivo $R$ . Entonces tenemos por desigualdad de Cauchy-Schwarz $\lVert f_n\rVert_2^2\geqslant\int_{[-R,R]^d} \left|f_n(x)\right|^2\mathrm dx \geqslant\int_{\left[-R,R\right]^d} \left|f_n(x)\right|\mathrm dx /\lambda_d\left(\left[-R,R\right]^d\right)$ . Por lo tanto, definir $g_n(x):=f_n(x)\mathbf 1_{\left[-R,R\right]^d}(x)$ tenemos:

1. una constante $C'$ en función de $R$ tal que $\sum_{n=1}^{ N}\left\lVert g_n\right\rVert_1\leqslant C'$ para cada $N$ ;
2. la convergencia $$\lim_{N\to +\infty} \left\lVert F\mathbf 1_{\left[-R,R\right]^d} -\sum_{n=1}^Ng_n \right\rVert_1=0.$$

En consecuencia, utilizando el resultado del hilo enlazado, deducimos que $\left(\sum_{n=1}^Nf_n -F\right)\mathbf 1_{\left[-R,R\right]^d}\to 0$ casi en todas partes. Desde $R$ es arbitraria y una unión contabe de conjuntos de cero medibles todavía tienen medida $0$ se deduce que $\sum_{n=1}^Nf_n \to F$ casi en todas partes.