Demuestre que si A y B pertenecen a la $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ entonces $ B \setminus A \in \mathcal{F}$

Question

P: Demuestre que si A y B pertenecen a la $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ entonces $ B \setminus A \in \mathcal{F}$

Solución intentada: Desde $\mathcal{F}$ es un $\sigma$ -sabemos que

1. $\varnothing \in \mathcal{F}$ .
2. Si $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$ entonces $\cup A_i \in \mathcal{F}$ .
3. Si $ A \in \mathcal{F} $ entonces $ A^c \in \mathcal{F}$ .

Trabajando con estos querré escribir $B \setminus A$ en términos de uniones de $A,B,A^C,B^C$ . O quizás, si $A \cap B = \varnothing$ entonces es trivial. Si $A \cap B = C$ Necesito ver que $ C \in \mathcal{F}$ . No sé cómo continuar.

Answer 1

Primer paso: $B \setminus A = B \cap A^c$ .

Paso 2: Como $B$ est en $\mathcal{F}$ entonces por $(3)$ $B^c$ también está en $\mathcal{F}$ . Entonces $(2)$ $B^c \cup A \in \mathcal{F}$ .

Paso 3: Como $B^c \cup A \in \mathcal{F}$ entonces $(B^c \cup A)^c \in \mathcal{F}$ por $(3)$ .

Paso 4: Por las leyes de DeMorgan $(B^c \cup A)^c = B \cap A^c$ .

Ponerlo todo junto:

$$B \setminus A = B \cap A^c = (B^c \cup A)^c \in \mathcal{F}.$$