Integral de estrella de Hodge de forma diferencial sobre submanifold de dimensión complementaria que interseca transversalmente

Question

Sea $([M]^n, g)$ sea una variedad riemanniana cerrada, lisa y orientada, y sea $[S]^k$ y $[T]^{n-k}$ sean submanifolds cerrados, lisos y orientados de $M$ que se cruzan transversalmente. Sea $\omega$ sea una diferencial $k$ -formar en $M$ con $\displaystyle \oint\limits_{[S]} \omega = r \ne 0$ . Sea $\eta$ sea la estrella de Hodge de $\omega$ .

¿Qué se puede decir sobre $\displaystyle \oint\limits_{[T]} \eta$ ? ¿Ayudaría si el $\mathbb{Z}\pi$ -número de intersección de $S$ y $T$ eran $\pm 1$ (donde $\pi = \pi_1(M)$ )?

Answer 1

Como respuesta parcial, en el caso $M = S \times T$ , dejemos que $[S]$ y $[T]$ sea $S$ y $T$ con orientaciones, que $[M]$ sea $M$ con su orientación inducida de $[S]$ y $[T]$ y que $\zeta_0$ sea la forma del volumen en $[M]$ . Entonces cada $n$ -formar en $M$ puede escribirse $f\xi_0$ para alguna función $f: M \to \mathbb{R} \in \Lambda^0(M)$ . Del mismo modo, dejemos que $\omega_0$ y $\eta_0$ sean las formas de volumen en $[S]$ y $[T]$ respectivamente. Entonces 1) $\omega_0 \wedge \eta_0 = \zeta_0$ , 2) $\displaystyle\text{Vol}(M) = \oint\limits_{[M]} \zeta_0 = \oint\limits_{[S] \times [T]} \omega_0 \wedge \eta_0 = \left(\oint\limits_{[[S]]} \omega_0\right)\left(\oint\limits_{[T]} \eta_0\right) = \text{Vol}(S)\text{Vol}(T)$ y 3) para cualquier forma $\omega \in \Lambda^k(S)$ y $\eta \in \Lambda^{n-k}(T)$ tenemos funciones $g_1$ y $g_2$ con $\omega = g_1\omega_0$ y $\eta = g_2\eta_0$ . Por lo tanto, $\displaystyle \oint\limits_{[S]} \omega = \oint\limits_{[S]} g_1\omega_0 = \pm\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)$ .

Supongamos que $\displaystyle \oint\limits_{[S]} \omega = r \ne 0$

Ahora, ${}^*\omega$ tiene $\omega \wedge {}^*\omega = \langle\omega,\omega\rangle\zeta_0 = \langle\omega,\omega\rangle(\omega_0 \wedge \eta_0) = g_1^2(\omega_0 \wedge \eta_0)$ Así que ${}^*\omega = g_1\eta_0$ . Por lo tanto, $\displaystyle \oint\limits_{[T]} {}^*\omega = \oint\limits_{[T]} g_1\eta_0 = \pm\left(\int\limits_T g_1\right)\text{Vol}(T) = \pm\frac{\left(\int\limits_T g_1\right)\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)\text{Vol}(T)}{\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)} = \pm\frac{\left(\int\limits_T g_1\right)\left(\int\limits_S g_1\right)\left(\oint\limits_{[S]} \omega_0\right)\left(\oint\limits_{[T]} \eta_0\right)}{\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)} = \pm\frac{\left(\int\limits_{S \times T} g_1^2\right)\left(\oint\limits_{[S] \times [T]} \omega_0 \wedge \eta_0\right)}{\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)} = \pm\frac{\left(\int\limits_{M} g_1^2\right)\left(\oint\limits_{[M]} \zeta_0\right)}{\left(\int\limits_S g_1\right)\text{Vol}(S)} = \pm\frac{\langle\omega,\omega\rangle\text{Vol}(M)}{r}\ \blacksquare$