Soporte de Poisson y órbitas conjuntas para $sl(2)$

Question

Así que estoy tratando de hacer este problema del libro de Peter Olver Aplicación de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales y me pregunto si alguien podría comprobar mi trabajo porque no estoy muy seguro de ello y estoy tratando de entender realmente este material poniendo a prueba a mí mismo.

Así que para empezar para el soporte Lie-Poisson estoy bastante convencido de que esto no es correcto porque simplemente no se ve bien. Así que para $sl(2)$ He utilizado las matrices de base

$$ A_1 = \begin{bmatrix} 0 \;\; 1 \\ 0 \;\; 0 \end{bmatrix} A_2 = \begin{bmatrix} 1 \;\;\;\;\;\; 0 \\ 0 \;\; -1 \end{bmatrix} A_3 = \begin{bmatrix} 0 \;\; 0 \\ 1 \;\; 0 \end{bmatrix}$$

Entonces utilicé esta definición para el corchete de Poisson

Así que calculé todas las constantes de estructura con respecto a mi base utilizando el Lie-brack de las matrices y obtuve

$$\{F,H\} = (2x^3,x^2,2x^1) \cdot \nabla F \times \nabla H$$

donde $\nabla F = (\frac{dF}{dx^1}, \frac{dF}{dx^2}, \frac{dF}{dx^3})$ ahora esto se siente muy mal... tal vez lo que se quiere decir con la pregunta es el corchete de Poisson en $sl(2)^*$ ...que podría ser lo que calculé... No estoy seguro.

Ahora, para las órbitas co-adjuntas, primero calculé el mapa adjunto y luego miré el dual de ese mapa para encontrar el mapa co-adjunto y las órbitas. Así que lo que hice fue tomar $X = \begin{bmatrix} a \;\; b \\ c \;\; d \end{bmatrix} \in SL(2) \implies ad-bc = 1$ entonces

$$Ad_X(A_1) = XA_1X^{-1} = a^2 \cdot A_1 -ac \cdot A_2 -c^2\cdot A_3$$ $$ Ad_X(A_2) = XA_2X^{-1} = -2ab \cdot A_1 + (ad+bc) \cdot A_2 + 2dc\cdot A_3 $$ $$Ad_X(A_3) = XA_3X^{-1} = -b^2 \cdot A_1 +bd \cdot A_2 +d^2\cdot A_3$$

Por tanto, la representación matricial de $Ad_X$ es $$ R= \begin{bmatrix}a^2 \;\;\;\; -2ab \;\;\;\; -b^2 \\ -ac \;\;\;\; ab+bc \;\;\;\; bd \\ -c^2 \;\;\;\; 2dc \;\;\;\; d^2 \end{bmatrix}$$

Y entonces la representación matricial $Ad_X^*$ es $(R^{-1})^T$ que llegué a ser $$ (R^{-1})^T= \begin{bmatrix}d^2 \;\;\;\; cd \;\;\;\; -c^2 \\ 2bd \;\;\;\; ab+bc \;\;\;\; -2ac \\ -b^2 \;\;\;\; -ab \;\;\;\; a^2 \end{bmatrix}$$

pero entonces estoy un poco confundido en cuanto a cómo incluso pensar en las órbitas aquí. Si tomo $A \in sl(2) \implies A = xA_1 + y A_2 + zA_3$ entonces $$Ad_X^*(A) = \begin{bmatrix}d^2 \;\;\;\; cd \;\;\;\; -c^2 \\ 2bd \;\;\;\; ab+bc \;\;\;\; -2ac \\ -b^2 \;\;\;\; -ab \;\;\;\; a^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xd^2 +ycd -zc^2 \\ x2bd + yad+ybc -2zac \\ -xb^2 -yab + za^2 \end{bmatrix}$$ es la representación de la base con respecto a $A_1,A_2,A_3$ pero no estoy muy seguro de lo que esto me da ... no parece obvio para mí, y me parece que no puede encontrar ninguna solución en la web así que me pregunto si he cometido un error o si esto es sólo la respuesta final y no puedo ver lo que representa.

Answer 1

Ya ha determinado la acción conjunta $\mathrm{Ad}_X^*$ y las órbitas coadjuntas. Basta con sustituir $ab+bc$ por $ad+bc$ en la matriz.

Sí, la órbita de $(x,y,z)$ es el conjunto de puntos de $\mathrm{sl}(2)^*\cong\mathbb{R}^3$

$$O((x,y,z))=\{Ad_X^*\left(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\right),\ X\in\mathrm{SL}(2)\}.$$

Estas órbitas son hojas simplécticas de la estructura Lie-Poisson. El corchete de Lie en su base : $$[A_1,A_2]=-2A_1,\ [A_1,A_3]=A_2, [A_2,A_3]=-2A_3.$$ El corchete de Poisson viene dado por (véase [Poisson lineal][1]): $$\{F,H\}(A):=<A,[dF,dH]>$$ donde $A=xA_1^*+yA_2^*+zA_3^*$ , $dF=\frac{\partial F}{\partial x}A_1+\frac{\partial F}{\partial y}A_2+\frac{\partial F}{\partial x}A_3$ ... $$[dF,dH]=-2\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial H}{\partial x}\right)A_1+\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial H}{\partial z}-\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial H}{\partial x}\right)A_2-2\left(\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial H}{\partial z}-\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial H}{\partial y}\right)A_3$$ Así que el corchete de Poisson lineal viene dado por: $$\pi_\ell=-2x\,\partial_x\wedge\partial_y+y\,\partial_x\wedge\partial_z-2z\,\partial_y\wedge\partial_z.$$

Puede comprobar que $F=4xz+y^2$ es una función de Casimir, por lo que las órbitas (hojas simplécticas) son las componentes conexas de las fibras de $F$ . [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_manifold#Linear_Poisson_structures