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Probabilidad de personas mayores en una residencia de un millón

En una ciudad de más de $1000000$ residentes, $14\%$ de los residentes son personas mayores. En una muestra aleatoria simple de $1200$ residentes, hay alrededor de un $95\%$ probabilidad de que el porcentaje de personas mayores esté en el intervalo [elija la mejor opción; incluso si puede dar una respuesta más aguda que la que ve en las opciones, elija simplemente la mejor de entre ellas $5\%$ opciones de intervalo ]

$N=1000000$ residentes;

$p=14\%=0.14$ Mayores

$n=1200$ residentes muestra aleatoria simple

$p=95\%=0.95$ posibilidad de que el $\%$ Senior Citizens está en el intervalo ¿qué?

$\quad\big[(9\%-19\%)\,$ o $\,(10\%-18\%)\,$ o $\,(11\%-17\%)\,$ o $\,(12\%-16\%)\,$ o $\,(13\%-15\%)\big]\,?$

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SeanFromIT Puntos 46

Se trata de una aplicación de un 95% intervalo de confianza para un proporción binomial .

Calculamos así el intervalo de confianza:

$$ p \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot SE $$

donde el error estándar se define como: $$SE = \sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}$$

Es muy sencillo "enchufar" los datos:

$p = 0.14$ (La probabilidad de "éxito")
$n = 1200$ (El tamaño de la muestra)
$z = 1.96$ ("Este valor es el percentil normal estándar que tiene una probabilidad de cola derecha igual a $\frac{\alpha}{2}$ ." [1]) Obtenemos este valor de la distribución normal, ya que queremos un Intervalo de Confianza del 95%, por lo que $\alpha=0.05$ . $\frac{\alpha}{2}=0.025$ El correspondiente puntuación z es de 1,96.

El cálculo es fácil de realizar:
$SE = \sqrt{\frac{0.14\cdot(1-0.14)}{1200}}$
$SE = \sqrt{\frac{0.14\cdot(1-0.14)}{1200}}$
$\therefore SE = 0.01002$

$\therefore Interval(p) = 0.14 \pm 1.96*0.01002$
$\therefore Interval(p) = (0.1203608,0.1596392)$
Redondeado:
$Interval(p) = (0.12,0.16)$

Así que ese será el intervalo correcto.

Avíseme si necesita alguna aclaración.

[1] Citado de Alan Agresti's Introduction to Categorical Data Analysis, 2nd Ed.

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Oli Puntos 89

Sea $X$ el número de personas mayores de la muestra. Se supone que se trata de un muestreo sin sustitución, pero $1000000$ es muy grande en comparación con el tamaño de la muestra, por lo que podemos suponer que la distribución de $X$ es binomial, $n=1200$ , $p=0.14$ . Así que $X$ tiene media $(1200)(0.14)$ y desviación típica $\sqrt{1200(0.14)(0.86)}$ .

Sea $Y=\frac{X}{1200}$ la proporción muestral de personas mayores.

Entonces $Y$ tiene media $0.14$ y desviación típica $\frac{\sqrt{(0.14)(0.86)}}{\sqrt{1200}}\approx 0.0100$ .

Obsérvese que la distribución de $Y$ está muy cerca de lo normal. Así que con probabilidad $0.95$ , $Y$ está dentro de $(1.96)(0.0100)$ de la media $0.14$ . El más cercano en la lista dada es $12\%$ à $16\%$ .

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