Álgebra booleana generada por conjuntos de valores de polinomios sobre $\mathbb{N}$

Question

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Para cada polinomio $P \in \mathbb{N}[X]$, sea $S_P = \{ P(n) \mid n \in \mathbb{N}\}$. ¿La álgebra booleana generada por los subconjuntos $S_P$ de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ tal que $P$ es un polinomio que satisface $P(0) = 0$ - ¿contiene un conjunto finito no vacío?

Answer 1

Sí. La intersección de los conjuntos de valores de $x^2$ y $x^3+x$ es finita. Esto se debe a que la curva elíptica $$y^2=x^3+x$$ solo tiene un número finito de puntos con coordenadas enteras (creo que esto se cumple para todas las curvas elípticas).

En este caso particular, también podemos argumentar directamente. Como $x$ y $x^2+1$ son coprimos, su producto es un cuadrado, si y solo si ambos son cuadrados. Lo último es obviamente un cuadrado solo si $x=0$.

Así que $S_{x^2}\cap S_{x^3+x}=\{0\}$.

Si $0\notin\Bbb{N}$ para ti, entonces $y^2=x^3+4x$ también debería funcionar y darte $S_{x^2}\cap S_{x^3+4x}=\{(0),16\}.$