¿Por qué esta curva está contenida en un plano?

Question

Supongamos que $\sigma:[a,b] \to \mathbb{R}^3$ y es de clase al menos $C^2$ . Supongamos para todo $t \in [a,b]$ tenemos que $$\dim \operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\{\sigma(t),\sigma'(t),\sigma''(t)\}=2$$ y que $\sigma(t)$ y $\sigma'(t)$ son linealmente independientes. ¿Cómo puedo demostrar que existe un plano $\Pi$ tal que $\sigma([a,b]) \subset \Pi$ ?

Mi intento:

He intentado calcular el vector binormal $b(t)=\frac{\sigma'(t) \wedge \sigma''(t)}{\|\sigma'(t) \wedge \sigma''(t)\|}=\frac{a(t)}{|a(t)|}\frac{\sigma'(t) \wedge \sigma(t)}{\|\sigma'(t) \wedge \sigma(t)\|}$ donde $a(t)$ es tal que $\sigma''(t)=a(t)\sigma(t)+c(t)\sigma'(t)$ .

Answer 1

Pista:

Dado lo que has hecho hasta ahora, \begin{align} \frac{d}{dt}(\sigma(t)\wedge\sigma'(t))&=\sigma'(t)\wedge\sigma'(t)+\sigma(t)\wedge\sigma''(t)\\ &=c(t)(\sigma(t)\wedge\sigma'(t))\\ \implies \sigma(t)\wedge\sigma'(t)&=e^{\int_0^tc(s)ds}(\sigma(0)\wedge\sigma'(0))\\ \implies \frac{(\sigma(t)\wedge\sigma'(t))}{\| (\sigma(t)\wedge\sigma'(t))\|}&= \frac{(\sigma(0)\wedge\sigma'(0))}{\| (\sigma(0)\wedge\sigma'(0))\|}\ \text{ for all }\ t\ge0\ . \end{align}