Explicación geométrica de $\sqrt 2 + \sqrt 3 \approx \pi$

Question

Sólo por curiosidad, ¿hay una explicación de la imagen de geometría para mostrar eso $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es cerca de $\pi$?

Answer 1

Tomar el círculo unitario. Una plaza de inscribir y circunscribir un hexágono. El perímetro de la Plaza es de 4\sqrt2, mientras que el perímetro del hexágono es de 4\sqrt3. Claramente la circunferencia del círculo se encuentra en el medio:

$$ 4\sqrt2\lt2\pi\lt4\sqrt3

Pero en la medida en que el cuadrado y el hexágono son aproximaciones ásperas al círculo, podríamos dividir la diferencia y decir

2\pi\approx{1\over2}(4\sqrt2+4\sqrt3)=2(\sqrt2+\sqrt3) $$

Answer 2

Riffs en @Shuchang la respuesta ...

Comenzando con el círculo unitario $\bigcirc O$, uno fácilmente construcciones de $A$, $B$, $C$, $D$ con $|\overline{AB}| = \sqrt{2}$ y $|\overline{CD}| = \sqrt{3}$. Quadrisecting $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ uno dibuja $\bigcirc$ y $\bigcirc{C}$ para proporcionar a los acordes de longitud $\sqrt{2}/4$ y $\sqrt{3}/4$. Las cadenas de círculos congruentes nos llevan a $B^\prime$ y $D^\prime$, de tal manera que tenemos poligonal longitudes $$|\widehat{AB^\prime}| = |\overline{AB}| = \sqrt{2} \qquad |\widehat{CD^\prime}| = |\overline{CD}| = \sqrt{3}$$

Ahora $\overline{B^\prime D^\prime}$ se ve muy cerca de ser perpendicular a $\overline{AC}$. (¿Es?) Esto nos da la gran aproximación $$\sqrt{2} + \sqrt{3} = |\widehat{AB^\prime}| + |\widehat{CD^\prime}| \aprox |\stackrel{\ceño}{AB^\prime}| + |\stackrel{\ceño}{CD^\prime}| \aprox |\stackrel{\ceño}{AC}| = \pi$$

(Por supuesto, existen múltiples aproximaciones pasando aquí. La poligonal longitudes aproximadas de las longitudes de arco con diferente rugosidad, y el combinado de arcos aproximado de un semicírculo (aunque lo hacen bastante bien!).)

Answer 3

Esto es lo que estoy tratando de mostrar en un diagrama indicando explícitamente todas las cantidades y la aproximación es bastante rugosa. Aquí es un círculo con centro $O$. Las cantidades de $OA=OB=OC=OD=AB=1$ y $OC\asesino OA, OD\paralelo OA$. Los segmentos de línea $AC$ y $BD,$ tienen una intersección $E$. Fácilmente podemos deducir las siguientes cantidades. $$AC^2=OA^2+OC^2=2\qquad BD^2=AD^2-AB^2=3$$ Por lo tanto, tenemos $AC=\sqrt2,BD=\sqrt3$ y la longitud de la mitad del perímetro de $ABCD$ es $\pi$. También tenga en cuenta que $$\begin{align}\sqrt2+\sqrt3&=AC+BD\\&=(AE+EC)+(+ED)\\&=AE+DE+(SE+CE)\\&\aprox AB+CD+BC\\&\approx\mathrm{arc}AB+\mathrm{arc}CD+\mathrm{arc}BC\\&\approx\mathrm{arc}ABCD=\pi\end{align}$$

Answer 4

Sólo puedo ver una relación con las funciones trigonométricas, yo.e.algo así como $\sqrt{3}=2-\tan (\pi/12)$ y $$\sqrt{2}=\frac{4\cos(\pi/12)}{3-\tan(\pi/12)}.$$ Si tenemos en cuenta la continuación de la fracción de $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ y $4/\pi$ vemos algunas similitudes, también. Sin embargo, también existen argumentos que indica que ambos números son sólo cerrar accidentalmente. Desde $\pi$ no es algebraica, una expresión $\pi=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ es imposible. En efecto, la cantidad de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es parte integral de más de $\mathbb{Z}$, lo que significa que hay un monic polinomio $f\in \mathbb{Z}[x]$ $f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$. Esta no puede existir por $\pi$ por supuesto.

Por el camino, mucho más cerca de $\pi^4+\pi^5$ y $e^6$.