Conceptos básicos sobre QM, incertidumbre de un observable continuo

Question

Sé que esta pregunta puede sonar tonta pero estoy realmente confundido, pero si tuviera una función de onda como la que describe bien un potencial, llamémosla $\Psi(x)$ y quiero calcular la incertidumbre de un momento por ejemplo, sabemos que:

\begin{equation} \Delta P=\sqrt{\langle p^{2}\rangle-\langle p\rangle^2} \end{equation} Desde $\Psi$ es una función de onda continua entiendo que $$ \langle P\rangle=\int_{\mathfrak{R}}\left( \Psi^{\ast}i\hbar\cdot - \frac{\partial}{\partial x}\Psi \right)dx$$ Pero, ¿qué pasa con $\langle p^2 \rangle $ desde lo básico sobre QM lo sé: $$ \langle\psi|p^2|\psi\rangle=\langle \psi|p(p|\psi\rangle) $$ la pregunta es, para una variable continua la relación para $$\langle p^2 \rangle=\hbar \int _{\mathfrak{R}}\Psi^{\ast} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi dx$$ ¿o sí? $$\langle p^2 \rangle=-i \hbar \int _{\mathfrak{R}}\Psi^{\ast} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi dx$$

Answer 1

El operador de momento es una función: $\hat p (\psi) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi$ . Aplicando esta función dos veces:

$$ \hat p (\hat p (\psi)) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \hat p (\psi ) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} (-i \hbar) \frac{\partial}{\partial x} \psi =- \hbar^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $$

Desde $i\hbar$ es independiente de $x$ . Así:

$$ \langle p^2 \rangle = -\hbar^2 \int \psi \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} dx $$

Answer 2

Es $$ p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} $$ $$ p_y=-i\hbar\frac{\partial}{\partial y} $$ $$ p_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z} $$ y $$ {\bf p}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right). $$ El caso que está considerando es unidimensional y puede limitar todo a $x$ .