Demuestre que la función inversa de la identidad $\text{id}\colon (C[0,1],\lVert\cdot\rVert_{\infty})\to (C[0,1],\lVert\cdot\rVert_1)$ no es continua

Question

Considere $C[0,1]$ el conjunto de todas las funciones continuas $f\colon [0,1]\to\mathbb{R}$ así como las normas $$ \lVert f\rVert_{\infty}:=\sup_{x\in [0,1]}\lvert f(x)\rvert, $$ $$ \lVert f\rVert_1:=\int_0^1\lvert f(x)\rvert\, dx. $$

Estoy un poco perdido para demostrar que para el mapa identidad dado en el título (que es biyectivo, continuo y lineal), su función inversa es no continuos.

---

Creo que una forma de demostrarlo es buscar un ejemplo $f\in C[0,1]$ con la propiedad: $$ \forall M\geq 0~\exists x\in [0,1]:\quad \sup_{x\in [0,1]}\lvert f(x)\rvert>M\int_0^1\lvert f(x)\rvert\, dx $$

Answer 1

¿Por qué no considerar $f_n(x):=x^n$ ?

Entonces $\lVert f_n\rVert_1=\frac{1}{n+1}\to 0$ como $n\to\infty$ mientras que $\lVert f_n\rVert_{\infty}=1$ para todos $n\geq 1$ .

Por lo tanto, $\forall M\geqslant 0~\exists f_n\in C[0,1]$ con $n$ lo suficientemente grande como para que $$ \lVert \text{id}^{-1}(f_n)\rVert_{\infty}=\lVert f_{n}\rVert_{\infty}> M\lVert f_{n}\rVert_1. $$

Answer 2

Exacto, tu sugerencia es la estrategia de prueba correcta. Entonces demuestras que la inversa de la bola unidad no está contenida en ninguna bola.

Sea $f_c(x)$ sea la función para todo $0<c<1$ tal que $f_c(x)= \begin{cases} \frac{2}{c}-\frac{2x}{c^2} \,\, \text{if} \,\, x\in [0,c] \\ 0 \,\, \text{otherwise} \end{cases}$ .

Estos se encuentran en la bola unitaria con respecto al $L^1$ norma, sino como $c\rightarrow 0$ su norma suprema tiende a $\infty$ .

Answer 3

Recordemos que un mapa lineal es continuo si y sólo si está acotado. Estamos viendo el mapa identidad de $(C[0, 1], \| \cdot \|_1)$ a $(C([0, 1], \| \cdot \|_\infty)$ lo que significa que tenemos que demostrar que ningún límite $M$ existe para este mapa. Es decir, para todo $M$ existe alguna $f$ en la bola unitaria de $(C[0, 1], \| \cdot \|_1)$ (es decir $\|f\|_1 \le 1)$ tal que $\|f\|_\infty > M$ .

Esencialmente, se necesita una función continua que tenga máximos muy grandes, pero cuya integral absoluta siga siendo $1$ . Yo sugeriría algún tipo de funciones de protuberancia lineal a trozos. Conectar los puntos $(0, 0)$ , $(1/M, M)$ , $(2/M, 0)$ , $(1, 0)$ en una función lineal a trozos. Entonces, la función es positiva, y la integral bajo ella es $1$ pero el sumo de la función es $M$ .