Demostrar o refutar la desigualdad $a^2+b^2+c^2\ge a^rb^{2-r}+b^rc^{2-r}+c^ra^{2-r}$ .

Question

Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales mayores que $0$ y $r$ es un número real con $0 \le r \le 2$ . ¿La desigualdad $$a^2+b^2+c^2\ge a^rb^{2-r}+b^rc^{2-r}+c^ra^{2-r}$$ ¿Sostener?

Answer 1

Sí, ya que $(2,0)$ se especializa $(r, 2-r)$ por la desigualdad de Muirhead, el resultado es cierto.

http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead 's_inequality

Answer 2

Pista: Utilizar la desigualdad de reordenación, observando $a^r, b^r, c^r$ y $a^{2-r}, b^{2-r}, c^{2-r}$ están ordenados de forma similar.