No existe otra forma de obtener un espacio topológico de un espacio métrico igualmente merecedores del término "canónica"?

Question

Cada espacio métrico se asocia con un espacio topológico en una forma canónica. De acuerdo a esta fuente, este asciende a un total functor de la categoría de métrica espacios continua se asigna a la categoría de espacios topológicos continuo con los mapas.

Es posible que existe otra forma de obtener un espacio topológico de un espacio métrico que es igualmente merecedores de la etiqueta "canonical"? Tal vez algo que nadie ha pensado todavía? Para decirlo de una manera diferente, hay un sentido en el que los citados functor es único? Vamos a asumir que la morfismos entre espacios métricos son precisamente el continuo de los mapas, a pesar de una respuesta que considera otros morfismos entre espacios métricos es bienvenido.

Ahora, obviamente, este es un soft pregunta, como he descuidado para especificar lo que significa para un mapa para ser merecedores del término "canónica." Por esta razón, permítanme motivar a la cuestión un poco.

En algún punto en la introducción del trabajo en el análisis, el autor va a definir el significado de la expresión "el espacio topológico asociados con (o inducida por) un espacio métrico." Me gustaría saber si esta definición es, en cierto sentido, "la única definición correcta," o si sólo es "una de las muchas posibles."

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EDIT: vamos a poner esto de otra manera. Obviamente hay muchos de función $\mathsf{Met} \rightarrow \mathsf{Top}$, pero la mayoría de ellos son bastante aburridos. Así podemos limitarnos a functors, donde $\mathsf{Met}$ $\mathsf{Top}$ son considerados como categorías (técnicamente tenemos que hacer también especificar lo que los morfismos de $\mathsf{Met}$ como debe ser.) De todos modos, como Martin señala, todavía vamos a quedar con un montón de "aburrido" functors. Así que supongo que la pregunta es, ¿cómo nos deshacemos de todos los "aburrido"? Y una vez que lo hacemos, es la canónica functor el único que queda? Obviamente no he definido "aburrido" así que este es un muy suave cuestión.

Magma sugiere el siguiente refinamiento de la pregunta: ¿el canónica functor satisfacer adecuado universal de asignación de la propiedad?

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He aquí otro ángulo. Supongamos que nos encontramos con una especie exótica, que los estudios de espacios topológicos (y los llama topotopos, y lo que podríamos llamar "un conjunto abierto de un toplogical espacio" que ellos llaman "un openopen de un topotopo"). También el estudio de la métrica de los espacios (y llamar a ellos metrometros.) Mandamos que las especies de un mensaje preguntándole por el "abrir abre un metrometro." Su noción de conjunto abierto de un espacio métrico coincide con nuestro concepto? Y si es así, ¿por qué?

Answer 1

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico. A continuación canónica de la topología $\tau_{can}$ es el más áspero de la topología en $X$ que hace (con la topología producto) $d : X \times X \to \mathbb{R}$ continuo.

Prueba: Se sigue de la desigualdad de triángulo que $d$ es continua en el canónica de la topología (de hecho cortas al dotar a $X \times X$ con la suma de métricas). Por el contrario, si $\tau$ es una topología tal que $d$ es continua con respecto a $\tau$, luego, en particular, para cada $x_0 \in X$ el mapa de $X \cong X \times \{x_0\} \to X \times X \xrightarrow{d} \mathbb{R}$ es continua. La preimagen de $(-\infty,r)$ es la bola abierta de radio $r$ y el centro de la $x_0$. Esta muestra $\tau_{can} \subseteq \tau$.

De ello se desprende que la canónica olvidadizo functor $\mathsf{Met} \to \mathsf{Top}$ es la terminal de entre todos los functors $F : \mathsf{Met} \to \mathsf{Top}$ $\mathsf{Set}$ tal que $d : F(X) \times F(X) \to \mathbb{R}$ es continua para todos los $(X,d) \in \mathsf{Met}$. La inicial de tales functor es determinada por la topología discreta.

Así que estoy bastante seguro de que los extranjeros que vendrá con la misma topología.

Answer 2

Respuesta parcial para su 'alien' pregunta.

Si asumimos que los extranjeros que pensar también en bloques abiertos como los complementos de cerrado conjuntos, y si también estamos de acuerdo con ellos en que está cerrado significa ser cerrado bajo los límites de las secuencias, y que $\lim(x_n)=x$ en espacio métrico se define como $\lim d(x_n,x)=0$, y también utilizan los mismos números reales, entonces también vamos a estar de acuerdo en lo abierto de conjuntos.