¿Por qué el área de un cuadrado $A = s^2$ ?( $s$ es la longitud del lado)

Question

¿Puede alguien proporcionar una prueba de la fórmula $A = s^2$ para el área de un cuadrado?

Answer 1

$$A = \int\limits_{x=0}^s \int\limits_{y=0}^s 1\ dx\ dy = s^2$$

Answer 2

Esto depende mucho de tus suposiciones sobre el área, y probablemente haya un puñado de enfoques muy diferentes.

He aquí una: supongamos que queremos definir "área" para al menos algunos subconjuntos del plano $\mathbb R^2$ como los que llamaríamos "cuadrados". Hay algunas propiedades que podríamos encontrar intuitivas, como:

1. El área de un conjunto (cuando existe) es siempre un número real no negativo o $\infty$ . (Quizás queramos decir cosas como "el área del plano es $\infty$ .")
2. El área del conjunto vacío es $0$ .
3. El complemento de algo con área tiene área.
4. La intersección de dos cosas con área tiene área.
5. El área de (su versión favorita de) el cuadrado unitario es $1$ . (Si no precisamos el área de algo con área distinta de cero en particular, entonces podríamos definir accidentalmente algo como "dos veces el área" por error).
6. Si trasladas/desplazas un conjunto en el plano, su área no debería cambiar.
7. Si rompes un set $S$ en ( countably-many ) subconjuntos disjuntos $S_1,S_2,\ldots$ cada una de las cuales tiene una superficie (posiblemente $0$ ou $\infty$ ), entonces el área de $S$ debe ser la suma de todas las áreas. A veces utilizamos ideas como ésta cuando trabajamos con integrales o pensamos en áreas complicadas como la de un círculo.
8. Por comodidad, cualquier subconjunto de un conjunto con área $0$ debe tener definitivamente un área; y por la propiedad anterior, esa área está obligada a ser $0$ . (Intuitivamente, uno de esos subconjuntos debe tienen área $0$ ya que es sólo un trozo de algo con área $0$ .)

Con suposiciones fijas sobre la teoría de conjuntos, las suposiciones anteriores fijan la noción de área en el plano de forma única. No hay más opciones. Este concepto en un número arbitrario de dimensiones (longitud en la línea real, área en el plano, volumen en 3D, etc.) se denomina Medida de Lebesgue y suele estudiarse en profundidad por primera vez a nivel de postgrado.

A partir de aquí, demostrar que el área de cualquier cuadrado es la que debería ser se puede hacer de varias maneras, pero tendrás que usar sumas infinitas/límites en algún sitio si quieres algo más que algo como "los cuadrados semiabiertos de lado racional tienen el área que deberían tener si es que tienen área" (tomando la suposición 5 como " $[0,1)\times[0,1)$ tiene área $1$ ").