Número de soluciones de $|\log_e{|x-2|}|+x^2-2x-35=0$

Question

Halla el número de soluciones de la ecuación dada: $$|\log_e{|x-2|}|+x^2-2x-35=0$$

Mientras estudiaba el tema "Transformación de gráficos", surgió esta pregunta y la respuesta fue 4.

Por curiosidad, fui a Geogebra, ¡y allí vi que la respuesta debería ser 2 en su lugar!
He aquí mi sencillo intento en GeoGebra para su confirmación.

1. ¿No hay alguna forma que complemente el gráfico para confirmar la respuesta?

2. ¿Cómo puede resolverse esta cuestión sin utilizar gráficos?

Por favor, ayuda.

Answer 1

Bien, entonces el truco para abordar la cuestión es empezar por averiguar donde puede existir la solución en lugar de donde exactamente la solución es .

Podemos reordenar la ecuación como

$$ | \log_e |x-2| | = -(x^2 - 2x -35)$$

La razón por la que hice esto fue que tengo un valor absoluto, reordenando de esta manera me dice que tengo que centrarme sólo en la parte donde RHS es positivo. Por lo tanto, tenemos que resolver la desigualdad:

$$ -(x^2 - 2x - 35) \geq 0 \iff x^2 - 2x -35 \leq 0$$

Ahora, te diré son truco bastante poco común: Considere la cuadrática $q(x)= x^2 - 2x -35$ si consideramos $\lim_{x \to \infty} q(x)$ entonces debería ser que el $x^2$ domina el valor. Dado que el $x^2$ tiene un coeficiente positivo, $ \lim_{ x \to \infty} q(x)$ es un valor positivo. Esto significa que toda la cuadrática es negativa en la región entre las raíces (está en algún lugar finito de $\mathbb{R}$ ). Encuentro la solución como:

$$ - 5 \leq x \leq 7 \tag{1}$$

Antes de eliminar el valor absoluto en el LHS, tenemos que ver cuando la función es positiva y cuando es negativa. Tenemos :

$$- \log_e |x-2| \leq 0 \iff |x-2| \leq 1 \iff 1 \leq x \leq 3 \tag{2}$$

Y,

$$ \log_e |x-2| > 0 \iff |x-2|>1 \tag{3}$$

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Ahora, como el dominio debe funcionar para ambos lados, tenemos que intersecar (1) con (2) e intersecar (1) con (3), y simplificar.

1. En el intervalo $[1,2)\cup(2,3]$ tenemos:

$$- \log_e (|x-2|) = - (x+5)(x-7)$$

2. En el intervalo $ \left(-5,1 \right] \cup \left[3,7\right)$ tenemos:

$$ \log_e (|x-2|) = -(x^2 -2x -35) $$

Ahora, podemos dividir en más subcasos mediante la ampliación de la entrada de piezas y, a continuación, utilizar argumentos crecientes / decrecientes en los subconjuntos simplificados para resolver. O bien, se puede ir directamente a una solución gráfica después de (1):

(1) me dijo cómo se ve la parábola, y luego es sólo dibujar grap hof $\log_e$ utilizando la experiencia.