¿Qué significa que una filtración "contiene la información" hasta el momento $t$ ?

Question

Tengo problemas para entender el concepto de filtración en cálculo estocástico. Entiendo que por ejemplo la filtración natural $F_t$ sólo contiene resultados hasta el momento $t$ pero como es un álgebra sigma contiene todos los sucesos posibles. Por ejemplo, para $X_s$ , $s<t$ debe contener todos los resultados posibles de $X_s$ e incluso todos los subconjuntos de posibles resultados de $X_s$ ¿verdad? ¿Cómo puede entonces contener información sobre qué sucesos ocurrieron y cuáles no, cuando contiene todos los sucesos posibles hasta el momento $t$ ? ¿Qué se quiere decir realmente cuando se escribe que "la filtración contiene la información de los resultados hasta el momento "? $t$ "y utiliza $|F_t$ para indicar valores de expectativas condicionales? ¿O he entendido completamente mal lo que se quiere decir cuando se dice que una filtración es un álgebra sigma?

Answer 1

Para entender la intuición que hay detrás de las filtraciones, conviene empezar por un caso muy particular: la $\sigma$ -generada por una única variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb{R}$ es decir

$$\sigma(X) = \{ \{X \in B\}; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\} \tag{1}$$

que es el más pequeño $\sigma$ -álgebra $\mathcal{F}$ en $\Omega$ tal que $X: (\Omega,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ es medible. En primer lugar, debes fijarte en dos hechos:

• Le site $\sigma$ -álgebra $\sigma(X)$ es un objeto determinista, es decir, no depende de $\omega \in \Omega$ .
• Le site $\sigma$ -álgebra $\sigma(X)$ no caracteriza unívocamente un $\sigma$ -álgebra $X$ . En particular no permiten "reconstruir" los resultados de una variable aleatoria $X$ .

Por ejemplo: Para $A \subseteq \Omega$ consideremos las variables aleatorias $$X := 2 \cdot 1_A \quad \text{and} \quad Y := 5 \cdot 1_{A^c}.$$ Se deduce de la propia definición $(1)$ que $$\sigma(X) = \sigma(Y) = \{\emptyset, \Omega,A,A^c\},$$ es decir, las dos variables aleatorias generan el mismo $\sigma$ -aunque las variables aleatorias sean muy diferentes. En particular, no podemos esperar utilizar $\sigma(X)$ para reconstruir la variable aleatoria $X$ .

Esto nos lleva a la pregunta natural de en qué sentido podemos entender $\sigma(X)$ como "información" sobre una variable aleatoria $X$ . Existe la siguiente caracterización de $\sigma(X)$ :

Un acontecimiento $A \subseteq \Omega$ es un elemento de $\sigma(X)$ si, y sólo si, después de observar el resultado $X(\omega)$ de nuestra variable aleatoria podemos saber si el evento $A$ ocurrió o no, es decir, si $\omega \in A$ ou $\omega \notin A$ .

Por ejemplo: Sea $U,V$ dos variables aleatorias independientes cuyos valores son $0$ y $1$ con probabilidad $1$ y establece $R:= U+V$ . Entonces $\{U=1\}$ no está contenido en $\sigma(R)$ . ¿Por qué? Una vez que hemos observado $R(\omega)$ no podemos saber si $\omega \in \{U=1\}$ por ejemplo, si $R(\omega)=1$ no sabemos si $U(\omega)=1$ ou $V(\omega)=1$ .

El llamado lema de factorización establece que una variable aleatoria $Y$ es $\sigma(X)$ -si, y sólo si, existe una función medible $h$ tal que $$Y=h(X).$$ Intuitivamente esto significa que una variable aleatoria $Y$ es $\sigma(X)$ -si y sólo si después de oberservando nuestra variable aleatoria $X(\omega)$ tenemos toda la información necesaria para determinar $Y(\omega)$ . En $\sigma$ -álgebra $\sigma(X)$ de ahí que almacene la información cuyo "conocimiento" adicional podemos obtener una vez hemos observado el resultado $X(\omega)$ de la variable aleatoria. En consecuencia, podemos leer la expectativa condicional $$\mathbb{E}(Y \mid \sigma(X))$$ como la expectativa de $Y$ dado que hemos observado $X$ . Por ejemplo, si $Y$ es $\sigma(X)$ -medible, entonces $$\mathbb{E}(Y \mid \sigma(X)) = Y$$ porque -según nuestra intuición- $Y(\omega)$ está totalmente determinada por $X(\omega)$ (que ya hemos observado).

Para la filtración canónica $$\mathcal{F}_t := \sigma(X_s; s \leq t)$$ la situación no es muy diferente. Similar a la caracterización de $\sigma(X)$ tenemos el siguiente resultado (véase aquí para una declaración rigurosa)

Un conjunto $A$ está en $\mathcal{F}_t$ si, y sólo si, después de observar $X_s(\omega)$ , $s \leq t$ podemos decidir si $\omega \in A$ ou $\omega \notin A$ .

Por ejemplo: Sea $U$ sea una variable aleatoria con distribución exponencial y defina $$X_t(\omega) := 1_{(U(\omega),\infty)}(t) = \begin{cases} 0, & \text{if $t \leq U(\omega)$} \\ 1, & \text{if $t > U(\omega)$}. \end{cases}$$ Entonces $$\tau := \sup\{t \geq 0; X_t = 0\}$$ no es un tiempo de parada con respecto a la filtración canónica $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ es decir $\{\tau \leq t\} \notin \mathcal{F}_t$ . ¿Por qué? Digamos que observamos nuestro proceso durante algún tiempo $t$ y es igual a cero hasta el tiempo $t$ es decir $X_s(\omega)=0$ para todos $s \leq t$ . ¿Podemos decidir si $\omega \in \{\tau \leq t\}$ ¿o no? No, porque no sabemos si $X$ va a saltar a $1$ directamente después de nuestra observación final (es decir $X_s(\omega)$ para todos $s>t$ ) o si se mantendrá a cero durante otro periodo de tiempo.

De acuerdo con la caracterización anterior, podemos entender la expectativa condicional

$$\mathbb{E}(Y \mid \mathcal{F}_t)$$

como la expectativa de $Y$ dado que ya hemos observado $X_s$ para $s \leq t$ . Los casos "extremos" son claramente que

• $Y$ es independiente de $\mathcal{F}_t$ en este caso la expectativa condicional es igual a $\mathbb{E}(Y)$ porque nuestras observaciones no nos aportan ningún conocimiento adicional sobre $Y$ ,
• $Y$ es $\mathcal{F}_t$ -medible; en este caso la expectativa condicional es igual a $Y$ porque $Y$ está totalmente determinada por nuestras observaciones.