La cuestión está estrechamente relacionada con medida de irracionalidad de $\pi$ . Ese es el número $\mu$ que para cada número $\lambda, \nu$ con $\lambda < \mu < \nu$ :
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existen infinitos números racionales distintos $p/q$ para lo cual $$ \left| \frac{p}{q} - \pi \right| < \frac{1}{q^\lambda} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lvert p - \pi q \rvert < q^{1-\lambda} $$
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para cada racional $p/q$ con un denominador suficientemente grande $$ \left| \frac{p}{q} - \pi \right| > \frac{1}{q^\nu} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lvert p - \pi q \rvert > q^{1-\nu} $$
Valor exacto de $\mu$ no se conoce, pero es cierto que $2\leqslant \mu \leqslant 7.6063$ . Obsérvese que, por el teorema de Dirichlet, el primer punto es siempre cierto para $\lambda = 2$ sin tener en cuenta la medida de irracionalidad.
Volviendo a la pregunta: hay cuenca para el parámetro. Si $t > \mu-1$ entonces el límite es $+\infty$ ; si $t < \mu-1$ entonces no existe. El caso restante $t = \mu-1$ depende del comportamiento de las aproximaciones diofánticas de $\pi$ .
Primer caso: $t < \mu-1$ .
Si $t < \mu-1$ y $p/q$ cumple la primera desigualdad, entonces $$ \lvert \sin p \rvert = \lvert \sin (p-\pi q) \rvert \leqslant \lvert p - \pi q \rvert \leqslant q^{-t} \sim \pi^t p^{-t} = O(p^{-t}) \;\text{ as }\; p\rightarrow \infty $$ por lo que existe una subsecuencia acotada de $\{ n^t \sin n \}_{n=1}^\infty$ y no puede tener límite infinito.
Segundo caso: $t > \mu-1$ .
Toma $\varepsilon > 0$ tal que $t-\varepsilon > \mu-1$ . Dado $n\in \mathbb N$ elige $m \in \mathbb N$ tal que $\lvert n -\pi m \rvert \leqslant \frac{\pi}{2}$ . En $n$ es suficientemente grande, $$ \lvert \sin n\rvert = \lvert \sin(n-\pi m) \rvert \geqslant \tfrac{2}{\pi} \lvert n - \pi m \rvert = \tfrac{2}{\pi} \lvert n - \pi m \rvert \geqslant \tfrac{2}{\pi} m^{-t+\varepsilon} \sim 2\pi^{t-\varepsilon-1} n^{-t+\varepsilon}, $$ de ahí $\lvert n^t \sin n \rvert \geqslant C n^\varepsilon \rightarrow +\infty$ .
El caso restante: $t = \mu-1$ .
Hay dos alternativas: $(A)$ si existen $C > 0$ e infinitas soluciones racionales $p/q$ de $$ \left| \frac{p}{q} - \pi \right| \leqslant \frac{C}{q^\mu} \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lvert p - \pi q \rvert \leqslant C q^{1-\mu} = C q^{-t}$$ o $(B)$ lo contrario. Como ya he mencionado, si $\mu = 2$ entonces $(A)$ retenciones.
Supongamos que $(A)$ es cierto. Entonces por el mismo argumento, como en el primer caso, $\nexists\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \lvert n^t \sin n \rvert$ .
Por el contrario, tenemos $(B)$ que, de hecho, equivale a que para cada secuencia de racionales distintos $\{p_n / q_n \}_{n=1}^\infty$ la secuencia $\{ q_n^t \lvert p_n - \pi q_n \rvert \}_{n=1}^\infty$ no tiene límites. Combinando esto con la solución del segundo caso se obtiene $\lvert n^t \sin n \rvert \rightarrow +\infty$ .
Sin embargo, probablemente sea un problema abierto cuál de $(A)$ o $(B)$ sostiene, junto con el propio valor de $\mu$ .
