$V=\mathcal{Z}(xy-z) \cong \mathbb{A}^2$ .

Question

Esta pregunta suele plantearse al principio de un curso de álgebra conmutativa o de geometría algebraica.

Sea $V = \mathcal{Z}(xy-z) \subset \mathbb{A}^3$ . Aquí $\mathcal{Z}$ es el lugar cero. Demostrar que $V$ es isomorfo a $\mathbb{A}^2$ como conjuntos algebraicos y proporcionar un isomorfismo explícito $\phi$ y asociados $k$ -isomorfismo de álgebra $\tilde{\phi}$ de $k[V]$ a $k[\mathbb{A}^2]$ junto con sus inversos. Es $V = \mathcal{Z}(xy-z^2)$ isomorfo de $\mathbb{A}^2$ ?

Esto es lo que tengo hasta ahora $V = \mathcal{Z}(xy-z) \subset \mathbb{A}^3$ . Considera el mapa: $\pi(x,y,z) = z$ donde $\pi$ es una familia de variedades, es decir, un morfismo suryectivo. Este mapa da la familia de hipérbolas: $\{\mathcal{Z}(xy-z) \subset \mathbb{A}^2\}_{z \in \mathbb{A}^1}$ y es inyectiva. ¿Proporciona esto un isomorfismo explícito $\phi$ ? No estoy seguro de cómo proceder para los anillos de coordenadas y cómo definir los inversos.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Utilice la proyección \begin{align*} \pi : V &\to \mathbb{A}^2\\ (x,y,z) &\mapsto (x,y) \, . \end{align*} ¿Puedes encontrar su inversa?

Para encontrar los mapas inducidos en los anillos de coordenadas, recordemos que estos mapas vienen dados simplemente por precomposición, por ejemplo, para $\pi : V \to \mathbb{A}^2$ , \begin{align*} \widetilde{\pi} : k[\mathbb{A}^2] &\to k[V]\\ F &\mapsto F \circ \pi \, . \end{align*}

Para responder a la pregunta de los comentarios, no, $V = \mathcal Z(xy-z^2)$ y $\mathbb A^2$ no son isomorfas. Esto puede verse en el nivel de los anillos de coordenadas. Obsérvese que el anillo de coordenadas de $\mathbb{A}^2$ es $k[x,y]$ que es un UFD; afirmamos que el anillo de coordenadas $k[V] = k[x,y,z]/(xy - z^2)$ no es un UFD. La relación $xy = z^2$ da dos factorizaciones diferentes, ya que $x,y,z$ son irreducibles no asociados. (Todos tienen grado $1$ .) Este hilo tiene más explicaciones.

Answer 2

Basta con demostrar que $k[x,y,z]/(xy - z) $ es isomorfo al anillo polinómico en dos variables. En efecto, $k[x,y,z]/(xy - z) \cong k[x,y,xy] = k[x,y]$ como desee.