Las siguientes conjeturas de Kapranov y Saito Politopos de Stasheff ocultos en teoría K algebraica y en el espacio de funciones de Morse no son tan conocidas como deberían, así que me gustaría exponerlas y preguntar si se ha avanzado algo desde la publicación del documento en 1997.
Cito (más o menos):
Fijar un anillo $A$ . Por a jeroglífico nos referiremos a un grafo orientado $\Gamma$ sin bucles orientados, dotado de la siguiente estructura adicional: (a) Una asignación de un número entero positivo a cada vértice de $\Gamma$ de forma que todos estos enteros sean distintos. (b) Una asignación de una secuencia ordenada no vacía de elementos de $A$ a cada arista de $\Gamma$ .
El número de elementos escritos en el borde de un jeroglífico se denomina peso de la y el peso de todo el jeroglífico es, por definición, la suma de los pesos de todas las aristas. pesos de todas las aristas.
Conjetura Por cada jeroglífico $\Gamma$ existe una bola poliédrica $P (\Gamma)$ con las siguientes propiedades:
$(a)$ La dimensión de $P (\Gamma)$ es igual al peso de $\Gamma$ . El tipo combinatorio de $P (\Gamma)$ depende únicamente del gráfico subyacente de $\Gamma$ y en los pesos de las aristas.
$(b)$ Si $\Gamma = \cup \Gamma_i$ es la descomposición irreducible de un jeroglífico $\Gamma$ entonces $P (\Gamma) = \Pi P (\Gamma_i)$ .
$(c)$ El límite de cada $P (\Gamma)$ se compone de las bolas $P (\Gamma)'$ para algunos jeroglíficos $\Gamma'$ .
$(d)$ Sea $B$ sea la unión de las bolas poliédricas $P (\Gamma)$ para todos los jeroglíficos $\Gamma$ según las identificaciones de sus límites dadas por la parte $(c)$ arriba. Entonces $B$ es la homotopía ber del mapa natural $BGL(A) \to BGL^+(A)$ . Otro modelo para esta fibra homotópica viene dado por Teoría K de Volodin en términos del espacio de clasificación de los grupos de matrices triangulares superiores en $GL(A)$ . Así que una prueba aquí daría un "modelo poliédrico" para este espacio de teoría K.
$(e)$ Para el jeroglífico de tipo Dynkin $A_n$ , $P(A_n)$ es el asociaedro (Politopo de Stasheff) $\cal K_{n+1}$ ....this debería ser factible, pero no he visto ninguna prueba en la literatura.
Esto es maravilloso. ¿Alguien sabe cómo verificar alguna de estas afirmaciones? ¿O están abiertas?
El artículo continúa elucidando muchas conexiones de los jeroglíficos con la teoría de Morse y la teoría K algebraica, por lo que las soluciones deberían ser muy interesantes. ¿Hay alguien trabajando en este tipo de cosas? Las construcciones de este artículo son muy concretas, y me gustaría pensar que se puede decir mucho más.
