¿Es esta función $f(x) = 2 - \Phi(a-x) - \Phi(a)$ ¿logo-cóncavo?

Question

Me gustaría verificar esta función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea logarítmico-cóncava o determinar la región en la que lo es: $$ f(x) = 2 - \Phi(a-x) - \Phi(a) $$ donde $a > 0$ es una constante, y $\Phi(x) := \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] $ es decir, la FDA de la distribución normal estándar.

1. Mi intento se basa en " toda función cóncava que no sea negativa en su dominio es logarítmico-cóncava ". $\Phi$ es convexa sobre $(-\infty, 0)$ (y cóncavo sobre $(0,\infty)$ ), por lo que $f$ es cóncava sobre $(a, \infty)$ . Desde $f$ no es negativo, $f$ es logarítmico-cóncavo sobre $(a, \infty)$ . ¿Estoy en lo cierto?
2. Pero espero decidir si $f$ es logarítmico-cóncavo sobre $\mathbb{R}$ o en al menos sobre $(0, \infty)$ . También es posible determinar la región donde $f$ es logarítmico-cóncavo?
3. Para simplificar la cuestión, si $f$ es logarítmico-cóncavo, es $f + c$ para cualquier constante $c$ ¿también logarítmico-cóncavo?
4. También me desconcierta intentar determinar dónde g es logarítmico-cóncava, $$ g(x) := 1 - \Phi(a-x) + \Phi(-a-x) $$ y si ha terminado $(0, \infty)$ ?

Gracias y saludos.

Answer 1

Ciertamente no puede ser logarítmico-cóncavo sobre $\mathbb R$ porque $f$ tiene un límite positivo $1 - \Phi(a)$ como $x \to -\infty$ y una función cóncava creciente no puede tener un límite finito en $-\infty$ .

Para $a=1$ los cálculos numéricos muestran $\log f$ tiene una inflexión en aproximadamente $x=0.2180016571$ por lo que no es logarítmico-cóncava en $(0,\infty)$ .

EDIT: aquí hay una foto de parte de la $a-x$ avión: $\log f$ es cóncava en la región azul y convexa en la región roja.