La curva de Selmer es la ecuación $3x^3 +4y^3 +5z^3=0$ . Esta ecuación es famosa por tener soluciones no triviales en cada terminación de $\mathbb{Q}$ pero que sólo tiene la solución trivial en los racionales. Esta curva ha sido discutido en Mathoverflow antes como aquí y aquí . Una buena prueba de que la curva siempre tiene soluciones para todo $p$ -adics está en este escrito de Kevin Buzzard . Tengo dos preguntas relacionadas con esta curva.
Pregunta I: ¿Cuánto puede empeorar la situación de los cúbicos si se aumenta el número de variables? Es decir:
Por cada $n \geq 3$ ¿existe una lista de enteros distintos de cero $a_1, a_2 \cdots a_n$ tal que la ecuación $$a_1x_1^3 +a_2x_2^3 \cdots a_n x_n^3 =0$$ tiene soluciones en cada terminación de $\mathbb{Q}$ ¿pero sin soluciones enteras no triviales?
Pregunta II: ¿podemos hacer una familia de ecuaciones de este tipo que esté anidada? Es decir, ¿existe una secuencia de números enteros distintos de cero $a_1, a_2, a_3 \cdots $ tal que para cualquier $n \geq 3$ la ecuación $$a_1x_1^3 +a_2x_2^3 \cdots a_n x_n^3 =0$$ tiene soluciones en cada terminación de $\mathbb{Q}$ pero sin soluciones enteras no triviales? Y si es así, ¿podemos tomar $a_1=3$ , $a_2=4$ y $a_3=5$ (es decir, utilizando la curva de Selmer como inicio de nuestra familia).
