No conozco ningún artículo que demuestre el resultado, pero puedo demostrártelo ahora. De hecho, los métodos del artículo que enlazas se generalizan a una base arbitraria. $g\gt2$ . Los autores del artículo no parecen creer que se generalice con tanta facilidad, ya que en la sección Problemas abiertos afirman que "Para bases $b\gt2$ existe el problema de tener más de dos dígitos posibles. ¿Qué tipo de límites se podrían poner a los recuentos de 1's y 2's para las expansiones ternarias de números algebraicos?". Espero no haber cometido ningún error importante...
[Editar: Un artículo de Bugeaud, Sobre la expansión b-aria de un número algebraico , disponible en su página de inicio da límites inferiores al número de dígitos distintos de cero en un número algebraico irracional. Allí, hace referencia al artículo enlazado en la pregunta, diciendo "Aparentemente, su enfoque no se extiende a una base ". $b$ con $b\ge3$ ". Sin embargo, acaba de respondió a esta pregunta , coincidiendo en que el método efectivamente se generaliza. Así que ahora estoy más seguro de mi prueba].
Utilice $\#(x,N)$ para denotar el número de bases no nulas- $g$ dígitos en la expansión de $x$ hasta el $N$ Después de la coma decimal, lo que pides está implícito en lo siguiente.
Si $x$ es irracional y satisface un polinomio racional de grado $D$ entonces $\#(x,N)\ge cN^{1/D}$ para una constante positiva $c$ y todos $N$ .
En primer lugar, introduciré una notación similar a la utilizada en el artículo enlazado. Utilice $r_1(n)$ para denotar la $n$ 'th base- $g$ dígito de $x$ de modo que $0\le r_1(n)\le g-1$ et $$ x=\sum_nr_1(n)g^{-n}. $$
Basta con considerar $1\le x\lt2$ así que lo haré en todo momento. Entonces $r_1(n)=0$ para $n\lt0$ y $r_1(0)=1$ . Utilice también $r_d(n)$ para indicar $$ r_d(n)=\sum_{p_1+p_2+\cdots+p_d=n}r_1(p_1)r_1(p_2)\cdots r_1(p_d)=\sum_{j+k=n}r_1(j)r_{d-1}(k) $$ Esto satisface las desigualdades $r_d(n)\ge r_1(0)r_{d-1}(n)=r_{d-1}(n)$ et $$ \sum_{n\le N}r_d(n)\le(g-1)^d\#(x,N)^d\le(g-1)^d(N+1)^d.\qquad\qquad{\rm(1)} $$ Además, elevar $x$ a la $d$ El poder da $$ x^d=\sum_nr_d(n)g^{-n}, $$ que difiere de la base $g$ ampliación de $x^d$ sólo porque $r_d(n)$ puede superar $g$ . También introducimos notación para la expansión de $x^d$ con los dígitos desplazados a la izquierda $R$ y se trunca para dejar la parte fraccionaria, $$ T_d(R)=\sum_{n\ge1}r_d(R+n)g^{-n}, $$ para que $g^Rx^d-T_d(R)$ es un número entero. También se puede acotar utilizando (1), $$ \begin{array}{rl} \displaystyle T_d(R)&\displaystyle\le\sum_{n\ge1}(g-1)^d(R+n+1)^dg^{-n}\\ &\displaystyle\le\sum_{n\ge1}(g-1)^d(R+1)^d(n+1)^dg^{-n}\\ &\displaystyle\le C_d(R+1)^d \end{array} $$ donde $C_d=\sum_{n\ge1}(g-1)^d(n+1)^dg^{-d}$ es una constante independiente de $R$ .
Supongamos ahora que $x$ satisface un polinomio entero de grado $D\gt1$ , $$ A_Dx^D+A_{D-1}x^{D-1}+\cdots+A_1x+A_0=0 $$ con $A_D\gt0$ . De ello se deduce que $$ T(R)\equiv\sum_{d=1}^D A_dT_d(R) $$ es un número entero para cada $R$ . Lo que sigue es similar al teorema 3.1 del artículo enlazado.
Lema 1 : Para todo lo suficientemente grande $N$ existe $n\in(N/(D+1),N)$ con $r_1(n)\gt0$ .
Prueba: Esto es consecuencia de Teorema de Liouville para una aproximación racional. Si la afirmación fuera falsa, entonces fijar $m=\lfloor N/(D+1)\rfloor$ , $p=\sum_{n=0}^mr_1(n)g^{-n}$ , $q=g^{m}$ da infinitas aproximaciones $\vert x-p/q\vert=q^{-D}o(1)$ como $N$ aumenta, contradiciendo el teorema de Liouville.
En el Lemma 1, se podría haber utilizado el teorema de Roth para reducir la $D+1$ término a $2+\epsilon$ . De hecho, el teorema de Ridout, tal y como se discute en los comentarios, puede utilizarse para reducirlo aún más a $1+\epsilon$ . Esto no es necesario aquí, así que me he limitado a utilizar el teorema de Liouville, más elemental.
El lema 6.1 del artículo enlazado se generaliza a la base $b$ y pone límites superiores al número de veces en que $T(n)$ puede ser distinto de cero.
Lema 2 : Para grandes $N$ , ajuste $K=\lceil 2D\log_g N\rceil$ g $$ \sum_{1\le R\le N-K}T_d(R) < (g-1)^{d-1}\#(x,N)^d+1 $$ para $1\le d\le D$ a $$ \sum_{1\le R\le N-K}\vert T(R)\vert\le\sum_{d=1}^D\vert A_d\vert ((g-1)^{d-1}\#(x,N)^D+1) $$
Prueba: Utilizando desigualdades similares a la prueba utilizada en el documento vinculado, $$ \begin{array}{rl} \displaystyle\sum_{1\le R\le N-K}T_d(R) &\displaystyle=\sum_{m\ge1}g^{-m}\sum_{R\le N-K}r_d(R+m)\\ &\displaystyle\le\sum_{m=1}^Kg^{-m}\sum_{R\le N}r_d(R)+g^{-K}\sum_{m > K}g^{K-m}\sum_{R\le N-K}r_d(R+m)\\ &\displaystyle \le \frac{1}{g-1}\sum_{R\le N}r_d(R)+g^{-K}\sum_{K\le R\le N}T_d(R)\\ &\displaystyle\le(g-1)^{d-1}\#(x,N)^d+g^{-K}NC_d(N+1)^d. \end{array} $$ El último término está limitado por $C_d(N+1)^{d+1}/N^{2D}$ que será inferior a 1 para $N$ grande.
También se generaliza el lema 6.2, que da bloques donde $T(R)$ es distinto de cero.
Lema 3 : Sea $R_1\lt R_2$ sean enteros positivos con $r_{D-1}(R)=0$ para todos $R\in(R_0,R_1]$ y $T(R_1)\gt0$ . Entonces $T(R)\gt0$ para todos $R\in[R_0,R_1]$ .
Prueba: Tenemos la siguiente relación para $T$ , $$ T(R-1)=\frac{1}{g}T(R)+\frac{1}{g}\sum_{d=1}^D A_dr_d(R). $$ En $r_d(n)\ge r_{d-1}(n)$ la hipótesis implica que $r_d(R)=0$ para todos $1\le d\le D-1$ y $R\in(R_0,R_1]$ . Por lo tanto, $$ T(R-1)=\frac{1}{g}T(R)+\frac{1}{g}A_Dr_D(R)\ge \frac{1}{g}T(R). $$ Suponiendo inductivamente que $T(R)\gt0$ da $T(R-1)\gt0$ .
Si juntamos todo esto obtenemos el resultado (Teorema 7.2 del artículo enlazado).
Teorema 4 : Hay una constante $c$ tal que, para todo lo suficientemente grande $N$ $$ \#(x,N)>cN^{1/D} $$
Prueba : Supongamos que no, entonces para cualquier $\delta\gt0$ hay infinitas $N$ con $\#(x,N)\lt\delta N^{1/D}$ y, utilizando (1), $$ \sum_{n\le N}r_{D-1}(n)\le \delta N^{1-1/D}\qquad\qquad{\rm(2)} $$ En particular, la proporción de enteros $R$ con $r_{D-1}(R)\gt0$ va a $0$ . Sea $0=R_1\lt R_2\lt\cdots\lt R_M\le N$ los números enteros del intervalo $[0,N]$ con $r_{D-1}(R_k)\gt0$ y establece $R_{M+1}=N$ . Entonces (2) da $M+1\le\delta N^{1-1/D}$ y $r_d(R)=0$ para $d\le D-1$ y $R$ en cualquiera de los rangos $(R_i,R_{i+1})$ . Así que.., $T_d(R-1)=g^{R-R_{i+1}}T_d(R_{i+1}-1)$ .
Fijación de $\epsilon\gt0$ y dejando $I$ denotan los números $i$ con $R_{i+1}-R_i\gt\epsilon N^{1/D}$ da $$ \sum_{i\in I}(R_{i+1}-R_i)\ge N - (M+1)\epsilon N^{1/D}\ge N(1-\epsilon \delta). $$ Así, los intervalos $(R_i,R_{i+1})$ mayor que $\epsilon N^{1/D}$ cubren la mayor parte del intervalo $[0,N]$ siempre que $\epsilon\delta$ es lo suficientemente pequeño.
Si $R$ está en el intervalo $(R_i,R_{i+1}-D\log_gN)$ y $r_D(R)\gt0$ entonces $T(R-1)\gt0$ : $$ T(R-1)\ge \frac{1}{g}A_D-g^{R-R_{i+1}}\sum_{d=1}^{D-1}\vert A_d\vert T_d(R_{i+1}-1) \ge\frac1g-N^{-D}\sum_{d=1}^{D-1}\vert A_d\vert C_d R_{i+1}^d $$ que es positivo, siempre que $N$ se elige lo suficientemente grande.
Suponiendo que $N$ es suficientemente grande, por el Lemma 1, para cada $i$ en $I$ hay $$ j\in\left(\frac{1}{D+1}(R_{i+1}-R_i-D\log_gN),R_{i+1}-R_i-D\log_gN\right) $$ con $r_1(j)\gt0$ . Entonces, $r_D(R_i+j)\ge r_{D-1}(R_i)r_1(j)$ es positivo, por lo que $T(R_i+j-1)\gt0$ . El lema 3 implica que $T(R_i+j)$ es positivo para todo $0\le j\lt(R_{i+1}-R_i-D\log_gN)/(D+1)$ . $$ \sum_{1\le n< N-2D\log_g N}\vert T(n)\vert\ge\frac{1}{D+1}\sum_{i\in I}(R_{i+1}-R_i-2D\log_gN) \ge\frac{N(1-\epsilon\delta)}{D+1}-2\delta N^{1-1/D}\log_gN $$ Esto contradice el Lemma 2, que da, para $N$ grande, $$ \sum_{1\le n< N-2D\log_g N}\vert T(n)\vert =O(\delta^D N). $$
