Como dice Petr Polovodov, se trata de un problema clásico, y dependiendo de lo cómodo que te sientas con las EDP, es... en realidad todavía difícil de entender.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que las guías de ondas no son dispositivos resonantes. (Sin embargo, el modo de orden más bajo, el modo dominante tiene una frecuencia de corte determinada por la resonancia, lo que nos da, por ejemplo, el técnica de resonancia transversal para encontrar frecuencias de corte). Cuando vea los patrones sinusoidales en el transversal (plano xy para la propagación en z), es decir no propagación de ondas, y tampoco está relacionada con la longitud de onda del espacio libre de la onda, ni con la constante de fase de la onda. Es sólo la envolvente de amplitud en la dirección transversal, así que asegúrate de no caer en la trampa de pensar que sólo ciertas frecuencias (armónicamente relacionadas) "caben" en la guía de ondas.
Una respuesta corta a tu pregunta es "la ecuación de onda y las condiciones de contorno lo permiten". Una respuesta a un pequeño subproblema es que en las guías de ondas rectangulares, puedes ver de forma equivalente algunos modos de propagación como compuestos de dos ondas de rebote independientes que se combinan para dar la onda estacionaria real. Es un caso en el que no se distingue el escenario, así que no hay nada malo en preferir una interpretación u otra.
Otra perspectiva: Cuando pienso en condiciones límite, pienso en tensiones en un circuito. Si sabemos que la tensión en A es x y la tensión en B es y, entonces el circuito está determinado y podemos resolverlo. Las tensiones en todo el circuito se consideran debidas a esos puntos conocidos si están conectados a una fuente de energía. Lo mismo ocurre con las condiciones de contorno, sobre todo porque esas tensiones son en realidad condiciones de contorno de todos modos.
Matemáticas
En primer lugar, recordemos que para los fasores, las ecuaciones de rizo sin fuente son: $$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{E} &= -j\omega \mu \mathbf{H} \\ \nabla \times \mathbf{H} &= -j\omega \epsilon \mathbf{E} \end{align} $$ Las ondas planas son, por supuesto, un subconjunto particular de las soluciones de la ecuación de ondas, y de la ecuación de ondas de Helmholtz en particular. La ecuación de onda se deriva de las ecuaciones de rizo, pero los conjuntos de ecuaciones son independientes, por lo que se pueden utilizar ambos (rizo y onda) para determinar un sistema. Los campos E y H obedecen ambos a ecuaciones de Helmholtz de la forma: $$ \nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0 $$ Dado que las ecuaciones de rizo y la ecuación de onda vectorial son extremadamente generales, restringimos nuestra atención a soluciones de la forma: $$ \begin{align} \mathbf{E} &= (\mathbf{e}(x,y)+\hat{z}e_z(x,y))e^{-j\beta z} \\ \mathbf{H} &= (\mathbf{h}(x,y)+\hat{z}h_z(x,y))e^{-j\beta z} \end{align} $$ Dónde $\mathbf{e},\mathbf{h},e_z,h_z$ son amplitudes complejas con magnitud y fase, y la variación espacial debe ser sinusoidal según $e^{-j\beta z}$ para una constante desconocida $\beta$ en el $z$ -Dirección. (Para las ondas TEM, $\beta$ es la conocida constante de fase, $2\pi/\lambda$ en general, no lo es). Esto sigue siendo muy general, la forma dada sólo impone el requisito sinusoidal, tanto en el tiempo como en el espacio.
Los formularios anteriores contienen todas las soluciones para los modos TEM, TE y TM de las ondas electromagnéticas, incluidas las ondas planas TEM, e incluso soluciones más complicadas. Distinguimos entre $z$ -del campo E o del campo H y las componentes transversales $\mathbf{e},\mathbf{h}$ porque a menudo tenemos $e_z=0$ o $h_z=0$ en los problemas prácticos, y las componentes transversales suelen considerarse juntas de todos modos.
Nota: Las componentes del campo E y del campo H, así como las direcciones generales de los vectores de campo, son sin relación a la dirección de propagación. En las ondas planas, forman tres vectores mutuamente ortogonales, pero no hay nada que exija intrínsecamente que tengan una relación. Hasta que prescribimos condiciones de contorno.
Los casos de ondas TEM, TE y TM son casos especiales de la forma anterior que nos permiten simplificar la solución de las ecuaciones de rizo y la ecuación de onda. Así que, en primer lugar vamos a utilizar nuestra forma general-ish para simplificar las ecuaciones de curl a cuatro PDEs acoplados. $$ \begin{align} H_x &= \frac{j}{k_c^2}\left(\omega \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial y} - \beta \frac{\partial H_z}{\partial x}\right) \\[1em] H_y &= \frac{-j}{k_c^2}\left(\omega \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial x} + \beta \frac{\partial H_z}{\partial y}\right) \\[1em] E_x &= \frac{-j}{k_c^2}\left(\beta\frac{\partial E_z}{\partial x} + \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial y}\right) \\[1em] E_y &= \frac{j}{k_c^2}\left(-\beta \frac{\partial E_z}{\partial y} + \omega\mu\frac{\partial H_z}{\partial x}\right) \\[1em] \end{align} $$
Resolviendo estas ecuaciones de rizo con la ecuación de onda obtendremos nuestra solución. En general, se desarrolla una ecuación de onda en uno de los componentes z, y luego se utilizan las ecuaciones de rizo para resolver los otros componentes. Excepto en las ondas TEM, donde se utiliza una ecuación de Laplace en lugar de la ecuación de onda para las componentes z.
Lo que encontramos para el caso eléctrico transversal, es que el $H_z$ sigue una ecuación de onda "transversal" (2D), $$ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + k_c^2\right) h_z = 0 $$ Dónde $ k_c^2 = k^2-\beta^2$ , $k=\omega\sqrt{\mu \epsilon}$ y $\beta$ viene determinada por las condiciones de contorno. Esto es válido para cualquier caso TE, no sólo dentro de una guía de ondas rectangular. Para el caso magnético transversal, encontramos $$ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + k_c^2\right) e_z = 0 $$ Otro resultado general, para todos los modos de propagación TM.
Finalmente, si se resuelven los modos TE en una guía de onda rectangular resolviendo primero la ecuación transversal de Helmholtz con separación de variables, se obtiene $$ h_z(x,y) = (A\cos k_x x + B\sin k_x x)(C\cos k_y y + D\sin k_y y) $$ Y, con las condiciones de contorno, la componente z completa del campo H es $$ H_z = A_{mn} \cos \frac{m\pi x}{a} \cos \frac{n\pi y}{b} e^{-j\beta z} $$ Así que podemos introducir esto en las ecuaciones de rizo anteriores y obtener expresiones para $E_x, E_y, H_x, H_y$ para diferentes valores de números enteros $m,n$ (modos) de la forma $$ E_x = \frac{j\omega\mu n\pi}{k_c^2 b} A_{mn} \cos \frac{m\pi x}{a} \sin \frac{n\pi y}{b} e^{-j\beta Z} $$ Si tienes experiencia con las EDP, estas soluciones no deberían sorprenderte ni resultarte desconocidas. En $\cos$ y $\sin$ son responsables de las envolventes de amplitud en las direcciones X e Y para el $x$ -del campo E (donde $x$ se toma en la dirección del lado largo para una sección transversal rectangular, $y$ está en la dirección del lado corto).
Hasta ahora, no hemos encontrado que los campos debe obedecen a esta forma, sino que puede . La forma de excitar la guía de ondas influirá mucho en los modos que se exciten. Pero en general, con el fin de satisfacer las condiciones de contorno, es necesario tener esos senos y cosenos en la envolvente de amplitud.
