Cómo conseguir el $\phi$ de $a\sin(x)+b\sin(x+\theta)=c\sin(x+\phi)$ ?

Question

$a\sin(x)+b\sin(x+\theta)=c\sin(x+\phi)$ ,

donde $c=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos(\theta)}$ y $\displaystyle\tan(\phi)=\frac{b\sin(\theta)}{a+b\cos(\theta)}$ .

Quiero saber cómo llegar a este resultado. Soy capaz de derivar $c$ tomando la derivada de la ecuación, elevando ambas al cuadrado y sumándolas, y volviendo a sustituir el coseno de un ángulo doble.

Pero ¿cómo se llega a la expresión $\tan(\phi)$ ?

Answer 1

Utiliza la fórmula de adición del pecado $\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ \begin{eqnarray*} a \sin x + \underbrace{b \sin(x+\theta)}_{ b\sin x \cos \theta+b \cos x \sin \theta}= \underbrace{c \sin(x+ \phi)}_{b\sin x \cos \phi+b \cos x \sin \phi} \\ (a + b \cos \theta) \color{red}{\sin x} + b \sin \theta \color{blue}{\cos x} = c \cos \phi \color{red}{\sin x}+c \sin \phi \color{blue}{\cos x} \end{eqnarray*} Igualar los coeficientes de $ \sin x $ y $ \cos x $ \begin{eqnarray*} a + b \cos \theta = c \cos \phi \\ b \sin \theta =c \sin \phi \end{eqnarray*} Ahora eleva al cuadrado estas ecuaciones y súmalas para obtener la primera ecuación que quieras. & toma el cociente de estas ecuaciones para obtener la segunda ecuación.

Answer 2

Por diversión, aquí hay un trigonógrafo, que conduce a una identidad coseno homóloga:

$$\begin{align} a \sin x + b \sin(\theta+x) &= c\sin(\phi+x) \\ a \cos x + b \cos(\theta+x) &= c\cos(\phi+x) \end{align}$$ donde $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos(180^\circ-\theta) = a^2 + b^2 + 2 a b \cos \theta \qquad\text{and}\qquad \tan\phi = \frac{b\sin\theta}{a+b\cos\theta}$$

Answer 3

Utilizamos $a \cdot b=|a||b|\cos(\text{angle between vectors})$ .

Nota,

$$\sin (x+\theta)=\sin x \cos \theta+\sin \theta \cos x$$

Por lo tanto, el lado izquierdo de su ecuación es,

$$a\sin x+b\sin x \cos \theta+b \cos x \sin \theta$$

$$=(a+b\cos \theta)\sin x+(b\sin \theta)\cos x$$

$$=\langle b\sin \theta,a+b\cos \theta \rangle \cdot \langle \cos x,\sin x \rangle$$

El ángulo entre estos dos vectores es $\alpha-x$ o $x-\alpha$ donde $\cot \alpha=\frac{b \sin \theta}{a+b\cos \theta}$ en función de la posición relativa de estos vectores. En cualquier caso, el coseno del ángulo entre estos dos vectores es $\cos(\alpha-x)=\cos(x-\alpha)$ debido a que el coseno es par.

A continuación, observe que $\sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$ para que los cosenos entre los dos ángulos sea realmente:

$$\sin (x-\alpha+\frac{\pi}{2})$$

Pero..:

$$\tan (\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha$$

Así que..,

$$\tan (\phi)=\cot \alpha=\frac{b \sin \theta}{a+b\cos \theta}$$ .

Answer 4

Tendrás $$\frac{a\sin(x)+b\sin(x+\theta)}{c}=\sin(x+\phi)$$ $$\arcsin\left(\frac{a\sin(x)+b\sin(x+\theta)}{c}\right)-x=\phi$$