Pregunta sobre la existencia de subconjuntos abiertos finitos en $\mathbb{R}^{k}$

Question

Estimado lector de este post,

puede cualquier subconjunto $S \subset \mathbb{R}^{k}$ con la distancia euclidiana para $x,y \in \mathbb{R}^{k}$ sea abierto y sólo contenga un número finito de elementos?

Espero su respuesta.

Answer 1

Supongamos que $S$ no es vacío (como Daniel Fischer señaló en los comentarios, es trivialmente abierto y finito).

Si $S$ es finito, entonces para cada $s\in S$ existe un $\delta>0$ tal que $d(s,s')>\delta$ para todos $s'\in S\setminus\{s\}$ (podemos establecer $\delta=\frac{1}{2}\min\{d(s,s')|s'\in S\setminus\{s\}\}$ ). Por lo tanto, cada punto de $S$ está aislado. De ello se deduce que $S$ no puede ser abierto como cada bola abierta alrededor $s$ contiene puntos que no están en $S$ .

Una forma mucho más sencilla de demostrarlo sería simplemente observar que la cardinalidad de cualquier bola abierta es infinita y, por tanto, no puede ser un subconjunto de un subconjunto finito de $\mathbb{R}^k$ .

Answer 2

Otro enfoque es a través de la conectividad: Supongamos que $F$ es un subconjunto finito de $\Bbb R^k$ . Entonces es una unión de singletons $\{x_1\},...,\{x_n\}$ . Puesto que cada $\{x_i\}$ es cerrada, también lo es la unión finita $F$ . Ahora, $\Bbb R$ se sabe que es conexo, y un producto de conjuntos conexos es conexo. Por lo tanto, $F$ no puede estar abierta y cerrada al mismo tiempo.

En términos más generales, esto demuestra que en una $T_1$ -los conjuntos abiertos espaciales no pueden ser finitos a menos que estén vacíos.