Fórmula para definir una curva

Question

Estoy intentando encontrar una fórmula para describir algo como lo siguiente:

Necesito que la curva empiece en el 90% a la izquierda y que llegue al 0% a los cinco años a la derecha. Me gustaría poder controlar el grado de curvatura frente a una línea recta entre los dos puntos. ¿Cuál sería la mejor fórmula para algo así?

Para los curiosos, esto pretende representar una propuesta fiscal basada en el tiempo que se posee una acción antes de venderla, de forma que las operaciones a corto plazo se vean muy penalizadas. Quiero ser capaz de ajustar la curva para un par de escenarios diferentes.

Gracias.

Answer 1

He aquí una solución muy sencilla:

$$f(x)=-\frac{90}{5^{2n+1}}(x-5)^{2n+1}$$

$n$ es el parámetro de la curva. A continuación se muestran los gráficos de $\color{blue}{n=3}$ et $\color {red}{n=20}$ :

Answer 2

Pruebe $y=90 \left(1-\sqrt[n]{1-\left(1-\frac{x}{5}\right)^n}\right)$ para variar $n$ (que no tiene por qué ser un número entero).

La curva es un cuarto de superellipse centrado en $(5,90)$ . Es tangente a los ejes en los puntos dados.

Answer 3

Una solución casi correcta sería utilizar un decaimiento exponencial $N = N_{0}e^{-t/\tau}$ . Para que esto llegue a cero en $t=5$ puede aplicar una corrección restando el valor en $t=5$ , $N_{0}e^{-5/\tau}$ . Otra corrección de $N_{0}$ para volver a acercar el punto inicial al punto deseado.

Estas correcciones no son del todo perfectas (el punto de partida $N_{0}$ nunca vuelve exactamente a donde se quiere), pero conduce a una curva que está bien para un espectáculo-curva.

Para una curva de 90 a 0 a 0 a 5:

$$ 90(1+e^{-5/\tau})(e^{-x/\tau}-e^{-5/\tau}) $$

Answer 4

Una curva posible:

$$y=\frac1{a(x+\sqrt{\frac{50}{9a}+\frac{25}4}-\frac52)}-\frac1{a(\sqrt{\frac{50}{9a}+\frac{25}4}+\frac52)},a>0$$

Metodología:

Como ecuación $y=\frac1{ax},a>0$ tiene una forma similar a la curva requerida, podemos adoptarla como medida de aproximación. En la ecuación, cuanto mayor sea $a$ mayor es la "curvatura". Para que la $y=\frac1{ax}$ curva tocando el eje x y el eje y, desplazamos la curva hacia abajo y hacia la izquierda, por lo que modificamos la ecuación en :

$$y+c=\frac1{a(x+d)}\text{ ,where }c,d>0$$

Sub intersección x $=5$ intersección y $=0.9$

$$0.9+c=\frac1{ad}$$ $$c=\frac1{a(d+5)}$$

Resolver,

$$c=\frac1{a(\sqrt{\frac{50}{9a}+\frac{25}4}+\frac52)}$$$$ d=a(\sqrt{\frac{50}{9a}+\frac{25}4}-\frac52)$$