Valor esperado del valor absoluto de la distribución binomial desplazada

Question

Recientemente mi investigación necesita calcular la forma cercana de $\mathsf{E}[|X-\frac{n}{2}|]$ donde $X$ sigue una distribución binomial con parámetro $(n,p)$ . En $p=\frac{1}{2}$ es simplemente la desviación media absoluta (DMA) y tiene una forma muy parecida, consulte este documento para más detalles. Pero cuando $p\neq\frac{1}{2}$ la forma cerrada parece complicarse. Se me ocurre que podemos intentar calcular $\lim_{t\rightarrow 2}\mathsf{E}[(X-\frac{n}{2})^\frac{2}{t}]$ pero tampoco estoy familiarizado con el momento fraccionario. Se agradecería cualquier referencia o idea.

Gracias de antemano.

Answer 1

Mathematica sólo puede producir una expresión inútil y tautológica para $E|X-n/2|$ en términos de función hipergeométrica. Utilizando el lema 1 (fórmula de Todhunter) del artículo que has enlazado y la expresión de la función de distribución binomial en términos de la función beta incompleta (véase por ejemplo Lema 1 ), se puede obtener fácilmente una expresión de $E|X-n/2|$ en términos de la función beta incompleta.

Sin embargo, una forma aparentemente mejor de abordar este problema es proporcionar la siguiente aproximación de $E|X-n/2|$ que estará muy cerca de $E|X-n/2|$ si $p$ no está demasiado cerca de $1/2$ . De hecho, para cualquier $u$ tenemos $|u|=u-2u\,1_{u<0}$ lo que implica $$E|X-n/2|=E(X-n/2)+R_n=n(p-1/2)+R_n,$$ donde $$R_n:=E(n/2-X)1_{X<n/2}.$$ Suponiendo que ahora $p>1/2$ y utilizando Desigualdad de Hoeffding tenemos $$0\le R_n\le(n/2)P(X<n/2)\le R_n^*:=(n/2)e^{-2n(p-1/2)^2}.$$ El caso $p<1/2$ es similar. Así, tenemos $$|E|X-n/2|-n|p-1/2||\le R_n^*.$$ En particular, esto implica que para $n\to\infty$ $$E|X-n/2|\sim n|p-1/2|$$ si $p\ne1/2$ es fijo o, de forma más general, si $p=p_n$ varía con $n$ para que $$\liminf_{n\to\infty}\frac{|p_n-1/2|}{\sqrt{(\ln n)/n}}>\frac12.$$